Question

4．如圖，E為（8，0），C是線段OE上一動點（不包括兩個端點），分別以O(shè)C、CE為斜邊，在第一象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△CDE，其中∠OBC=∠CDE=90°．設(shè)OC=a
（1）請表示B，D兩點的坐標(biāo)．（用含字母a的代數(shù)式表示）；
（2）若OC：OE=3：1時，求直線BD的解析式；
（3）若兩等腰直角三角形與一次函數(shù)y=-$\frac{1}{3}$x+3恰好有四個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖，過點B作BM⊥OC于M，過點D作DN⊥CE于N，則∠BMO=∠CND=90°，利用等腰三角形的性質(zhì)求出OM=BM=$\frac{a}{2}$，CN=DN=$\frac{8-a}{2}$=4-$\frac{a}{2}$，ON=OC+CN=a+$\frac{8-a}{2}=4+\frac{a}{2}$，即可解答．
（2）求出B（3，3），D（7，1），利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，即可解答．
（3）根據(jù)只要直線BD的B點、D點均在一次函數(shù)y=-$\frac{x}{3}$+3的上方時，則一次函數(shù)與直線BD就恰好有四個交點，得到-$\frac{1}{3}•\frac{a}{2}+3＜\frac{a}{2}$ ①，-$\frac{1}{3}•（4+\frac{a}{2}）+3＜4-\frac{a}{2}$ ②，即可解答．

解答 解：（1）如圖，過點B作BM⊥OC于M，過點D作DN⊥CE于N，
則∠BMO=∠CND=90°，

∵等腰Rt△OBC和等腰Rt△CDE，其中∠OBC=∠CDE=90°．
∴BM垂直平分OC，DN垂直平分CE，且Rt△BMO為等腰直角三角形，Rt△DNC為等腰直角三角形，
∵OC=a，E（8，0），
∴CE=8-a，
∴OM=BM=$\frac{a}{2}$，CN=DN=$\frac{8-a}{2}$=4-$\frac{a}{2}$，
∴ON=OC+CN=a+$\frac{8-a}{2}=4+\frac{a}{2}$，
∴B（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），D（4+$\frac{a}{2}$，4-$\frac{a}{2}$）．
（2）若OC：CE=3：1，
∵OE=8，
∴OC=6，CE=2，
∴B（3，3），D（7，1），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{7k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$．
∴直線BD的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$．
（3）一次函數(shù)y=-$\frac{x}{3}$+3，
∴該函數(shù)與x軸的交點P為（9，0），
該函數(shù)與x軸的交點Q為（0，3），
∴OQ=3，OP=9，
∴OP＞OE，
∴只要直線BD的B點、D點均在一次函數(shù)y=-$\frac{x}{3}$+3的上方時，則一次函數(shù)與直線BD就恰好有四個交點，
由（1）得：B（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），D（4+$\frac{a}{2}$，4-$\frac{a}{2}$）．
∴-$\frac{1}{3}•\frac{a}{2}+3＜\frac{a}{2}$  ①
-$\frac{1}{3}•（4+\frac{a}{2}）+3＜4-\frac{a}{2}$   ②
由①得：a＞$\frac{9}{2}$，
由②得：a＜7，
∴$\frac{9}{2}$＜a＜7．

點評 本題考查了求一次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，結(jié)合圖象進行解決問題．