點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，BD是⊙O的切線，且AB=AD．
（1）求證：點A是DO的中點．
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA=
23
，求△ACF的面積．
分析：（1）連接OB，利用切線的性質和已知條件證明AO=AD即可；
（2）同弧所對的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．
解答：證明：（1）連接OB，∵BD是⊙O的切線，
∴∠OBD=90°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∴∠AOB=∠ABO，
∴AB=AO，
∴AO=AD，
∴點A是DO的中點；
（2）∵AC是直徑，
∴∠ABF=90°，
cos∠BFA=
FB
FA
=
2
3
，
∵∠E=∠C，∠FAC=∠FBE，
∴△FAC∽△FBE，
∴
S△BEF
SACF
=
4
9
，
∵△BEF的面積為8，
∴△FAC的面積為18．
點評：本題綜合考查了圓的切線的性質、圓的性質、相似三角形的判定及性質等內容，是一個綜合較強的題目，難度中等．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知：如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且OA=AB=AD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且BE=8，tan∠BFA=
5
2
，求⊙O的半徑長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網本題為選做題，從甲、乙兩題中選做一題即可，如果兩題都做，只以甲題計分．
選做題：甲：已知關于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m2+m-2=0
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若方程的兩個實數(shù)根x1、x2滿足
1
x1
+
1
x2
=1+
1
m+2
，求m的值．
乙：如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA=
2
3
，求△ACF的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且∠D=∠C=30°．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）分別過B、F兩點作DC的垂線，垂足分別為M、N，且CN：CM=2：3若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，△ABC的面積為12cm2，cos∠EFC=
23
，求△BFE的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若點E是劣弧
AB
上一點，AE與BC相交于點F，且∠ABE=105°，BD=2
3
，求出AE的值．

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