Question

如圖1，兩個直角三角形拼成一個四邊形ABCD，其中∠B=∠D=90°，AD=BC．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）△ABC不動，△ADC沿CA方向平移，重新標注字母后如圖2，割掉Rt△AEG和Rt△CFH后，得到一個正方形DGBH，若AD=18，DF=12，求正方形DGBH的邊長．

Answer 1

考點：矩形的判定,全等三角形的判定與性質,正方形的性質,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）首先利用HL證得Rt△ABC≌Rt△CDA，從而得到∠ACB=∠CAD，進一步得到AD∥BC，從而判定四邊形ABCD是平行四邊形，證得四邊形ABCD為矩形；
（2）設DG=BG=x，根據(jù)GE∥DF，得到△AGE∽△ADF，從而列出有關x的方程求得x的值即可．

解答：（1）證明：∵在Rt△ABC和Rt△CDA中，

AD=BC AC=CA

∴Rt△ABC≌Rt△CDA，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD為矩形；

（2）解：設DG=BG=x，
∵GE∥DF，
∴△AGE∽△ADF，
∴

AG

AD

=

GE

DF

，
即：

18-x

18

=

x-12

12

，
解得：x=

72

5

．
答：正方形DGBH的邊長

72

5

．

點評：本題考查了矩形的判定，題目中還滲透了方程的數(shù)學思想，解題的關鍵是了解矩形的判定方法，難度中等．