Question

1．如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點M是邊AB上任意一點（不與點A，B重合），過點M作MN∥AC交BC于點N，MP∥BC交AC于點P，連接PN．設線段AM的長為x，△MNP的面積為S．

（1）當x=1時，求△AMP的面積．
（2）求S與x的函數關系式，若S有最大值，求出這個最大值．
（3）如圖②，過圖①中的點C作直線EF∥AB，并將△ABC的頂點C在直線EF上移動，題中的條件除∠C=90°和AC=3變化外，其他條件不變．在運動變化過程中，S還有最大值嗎？若有，請求出這個最大值．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，可求得BC的長，繼而求得△ABC的面積，又由MP∥BC，可得△AMP∽△ABC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△AMP的面積．
（2）由MP∥BC，易得△AMP是直角三角形，利用三角函數的知識即可表示出PM與AP，易證得四邊形PMNC是矩形，可由S=$\frac{1}{2}$PM•PC，利用二次函數的最值，求得答案．
（3）由MP∥BC，MN∥AC，可得△AMP∽△ABC，△MBN∽△ABC，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得S_△AMP=$\frac{6}{25}$x²，S_△MBN=$\frac{6}{25}$（5-x）²，又由四邊形PMNC是平行四邊形，可得S=$\frac{1}{2}$[S_△ABC-S_△AMP-S_△MBN]，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵MP∥BC，
∴△AMP∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AMP}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AM}{AB}$）²=（$\frac{1}{5}$）²=$\frac{1}{25}$，
∴S_△AMP=$\frac{6}{25}$；

（2）∵MP∥BC，
∴∠APM=∠C=90°，
∴在Rt△AMP中，PM=AM•sinA=$\frac{4}{5}$x，AP=AM•cosA=$\frac{3}{5}$x，
∴PC=AC-AP=3-$\frac{3}{5}$x，
∵MN∥AC，MP∥BC，
∴四邊形PMNC是平行四邊形，
∵∠C=90°，
∴四邊形PMNC是矩形，
∴S=$\frac{1}{2}$PM•PC=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{5}$x•（3-$\frac{3}{5}$x）=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{6}{5}$x=-$\frac{6}{25}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∴S有最大值，最大值為：$\frac{3}{2}$；

（3）有最大值．
∵MP∥BC，MN∥AC，
∴△AMP∽△ABC，△MBN∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AMP}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{x}{5}$）²，$\frac{{S}_{△MBN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{5-x}{5}$）²，
∴S_△AMP=$\frac{6}{25}$x²，S_△MBN=$\frac{6}{25}$（5-x）²，
∵四邊形PMNC是平行四邊形，
∴S=$\frac{1}{2}$[S_△ABC-S_△AMP-S_△MBN]=$\frac{1}{2}$[6-$\frac{6}{25}$x²-$\frac{6}{25}$（5-x）²]
=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{6}{5}$x=-$\frac{6}{25}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∴S有最大值，最大值為：$\frac{3}{2}$．

點評 此題屬于相似三角形的綜合題．考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質以及二次函數的最值問題．注意利用二次函數的最值求解是關鍵．