【題目】如圖,以△ABC的BC邊上一點O為圓心,經(jīng)過A,C兩點且與BC邊交于點E,點D為CE的下半圓弧的中點,連接AD交線段EO于點F,若AB=BF

(1)求證:AB是⊙O的切線;

(2)若CF=4,DF=,求⊙O的半徑r及sinB

【答案】(1)證明見解析;(2)r=3,sinB=

【解析】

試題分析:(1)連接OA、OD,如圖,根據(jù)垂徑定理得OD⊥BC,則∠D+∠OFD=90°,再由AB=BF,OA=OD得到∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,加上∠BFA=∠OFD,所以∠OAD+∠BAF=90°,則OA⊥AB,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AB是⊙O切線;

(2)先表示出OF=4﹣r,OD=r,在Rt△DOF中利用勾股定理建立方程,解方程得到r的值,那么OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.

然后在Rt△AOB中利用勾股定理,得到AB的值,再根據(jù)三角函數(shù)定義求出sinB.

試題解析:(1)證明:連接OA、OD,如圖,∵點D為CE的下半圓弧的中點,∴OD⊥BC,∴∠EOD=90°,∵AB=BF,OA=OD,∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,而∠BFA=∠OFD,∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°,即∠OAB=90°,∴OA⊥AB,∴AB是⊙O切線;

(2)解:OF=CF﹣OC=4﹣r,OD=r,DF=,在Rt△DOF中,,即,解得r=3r=1(舍去);∴半徑r=3,∴OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.在Rt△AOB中,,∴,∴AB=4,OB=5,∴sinB==

練習冊系列答案
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