Question

12．Rt△ABC中，A∠BAC=90°，邊BC所在直線下方有一點(diǎn)D，連接BD，AD，CD，過點(diǎn)D作DM⊥AC，垂足為M，若AD²=2AB×DM．

（1）求證：AB=BD；
（2）過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于E，交射線BD于G，沿BC折疊∠BCD得到∠BCF，射線CF交射線DE于點(diǎn)F，連接BF，判斷線段BF，BG，DG的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長AB到K，使AB=BK，連接DK，則有AK=2AB，由已知等式，將2AB代換為AK，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形ADK與三角形DMA相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠ADK為直角，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證；
（2）BF=BG+DG或BF=BG-DG，理由為：利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ABE與三角形CBA相似，由相似得比例，等量代換后利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形BDE與三角形BCD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，得到四邊形FBDC對(duì)角互補(bǔ)，即F，B，D，C四點(diǎn)共圓，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，等量代換后，利用等角對(duì)等邊得到BF=BD，分兩種情況考慮：當(dāng)G在BD上與G在BD的延長線上，即可得證．

解答 （1）證明：如圖1，延長AB到K，使AB=BK，連接DK，則有AK=2AB，

∵AD²=2AB×DM，
∴AD²=AK×DM，即$\frac{AD}{AK}$=$\frac{DM}{AD}$，
∵DM⊥AC，
∴∠DMC=∠BAC=90°，
∴AB∥DM，
∴∠KAD=∠ADM，
∴△ADK∽△DMA，
∴∠ADK=∠AMD=90°，
∴BD為斜邊AB上的中線，
∴BD=BA；
（2）解：BF=BG+DG或BF=BG-DG，理由為：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°=∠BAC，
∵∠ABE=∠CBA，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
∵AB=BD，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵∠EBD=∠DBC，
∴△BDE∽△BCD，
∴∠BDE=∠BCD，
∵∠BCD=∠BCF，
∴∠BDE=∠BCF，
∴四邊形FBDC對(duì)角互補(bǔ)，即F，B，D，C四點(diǎn)共圓，
∴∠BFD=∠BCD，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD，
分兩種情況考慮：
①如圖2（1），當(dāng)G在BD上時(shí)，BF=BG+DG；

②如圖2（2），當(dāng)G在BD延長線上時(shí)，BF=BG-DG．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的條件，圓周角定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．