Question

20．如圖，直線l上依次擺放著一系列正方形，斜放置的正方形面積分別為1，2，3，…，n，正放置的正方形面積分別為S₁，S₂，S₃，…，S_n，當n=100時，則S₁+S₂+S₃+…+S₁₀₀等于（　　）

• A． 2500
• B． 2550
• C． 2600
• D． 2800

Answer 1

分析 如圖1，根據(jù)正方形的性質得AC=CD，∠ACD=90°，再根據(jù)等角的余角線段得∠BAC=∠DCE，則可根據(jù)“AAS”判定△ACB≌△DCE，得到AB=CE，BC=DE；由勾股定理得AC²=AB²+BC²=AB²+DE²，即S_b=S_a+S_c=5；如圖2，由前面的結論可得S₁+S₂=1=1+2×0=1，S₃+S₄=3=1+2×1=3，S₅+S₆=1+2×2=5，…S₉₉+S₁₀₀=99，然后相加得到S₁+S₂+S₃+…+S₁₀₀=2500．

解答 解：如圖1，∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
而∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠CED}\\{∠BAC=∠DCE}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=AB²+DE²，
即S_b=S_a+S_c=1+4=5；
如圖2，由前面的結論可得S₁+S₂=1=1+2×0=1，
S₃+S₄=3=1+2×1=3，
S₅+S₆=1+2×2=5，
…
S₉₉+S₁₀₀=99，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₁₀₀=1+3+5+…+99=2500．
故選：A．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．也考查了勾股定理和正方形的性質．