Question

如圖，AB為圓O的直徑，PA、PC均為圓O的切線．
（1）求證：PO∥BC；
（2）作OM⊥BC于M，寫出BC，OP與半徑r之間的等量關(guān)系，并進行證明；
（3）延長PC交AB的延長線于D，若PC=6，半徑r=3，求

PA

PD

的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得PA=PC，OA⊥PA，OC⊥PC，∠APO=∠CPO，則∠AOP=∠COP，而∠OBC=∠OCB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠AOP+∠COP=∠OCB+∠OBC，則∠AOP=∠OBC，根據(jù)平行線的判定即可得到PO∥BC；
（2）由于OM⊥BC，根據(jù)垂徑定理得CM=BM，再證明Rt△OCP∽Rt△CMO，利用相似比得到OP•CM=OC²，則OP•

1

2

BC=r²，所以O(shè)P•BC=2r²；
（3）設(shè)CD=x，則PD=6+x，而PA=PC=6，證明Rt△ODC∽Rt△PDA，利用相似比得

3

6

=

OD

6+x

，解得OD=3+

1

2

x，在Rt△OCD中利用勾股定理得3²+x²=（3+

1

2

x）²，解得x=4，則PD=PC+CD=10，所以

PA

PD

=

3

5

．

解答：（1）證明：連接OC，如圖，
∵PA、PC均為圓O的切線，
∴PA=PC，OA⊥PA，OC⊥PC，∠APO=∠CPO，
∴∠AOP=∠COP，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOP+∠COP=∠OCB+∠OBC，
∴∠AOP=∠OBC，
∴PO∥BC；
（2）解：OP•BC=2r²．證明如下：
∵OM⊥BC，
∴CM=BM，
∵OP∥BC，
∴∠POC=∠OCM，
∴Rt△OCP∽Rt△CMO，
∴OP：OC=OC：CM，
∴OP•CM=OC²，
∴OP•

1

2

BC=r²，
∴OP•BC=2r²；
（3）解：設(shè)CD=x，則PD=6+x，而PA=PC=6，
∵∠ODC=∠PDA，
∴Rt△ODC∽Rt△PDA，
∴

OC

PA

=

OD

PD

，即

3

6

=

OD

6+x

，解得OD=3+

1

2

x，
在Rt△OCD中，∵OC²+CD²=OD²，
∴3²+x²=（3+

1

2

x）²，解得x=4，
∴PD=PC+CD=6+4=10，
∴

PA

PD

=

6

10

=

3

5

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．