Question

【題目】已知直線(xiàn)m∥n，點(diǎn)C是直線(xiàn)m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線(xiàn)n上一點(diǎn)，CD與直線(xiàn)m、n不垂直，點(diǎn)P為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線(xiàn)l⊥m，分別交m、n于點(diǎn)A、B，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)（如圖1），連結(jié)PA，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：　 　．

（2）猜想證明：在圖1的情況下，把直線(xiàn)l向右平移到如圖2的位置，試問(wèn)（1）中的PA與PB

的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）延伸探究：在圖2的情況下，把直線(xiàn)l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖3），若兩平行線(xiàn)m、n之間的距離為2k，求證：PAPB=kAB．

Answer 1

【答案】（1）PA=PB；（2）成立，證明詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)△CBD是直角三角形，而且點(diǎn)P為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，可得PA=PB，據(jù)此解答即可．

（2）PA=PB仍然成立．如圖，延長(zhǎng)AP交直線(xiàn)n于點(diǎn)E．只要證明PA=PE即可；

（3）延長(zhǎng)AP交直線(xiàn)n于點(diǎn)E，作AF⊥直線(xiàn)n于點(diǎn)F．只要證明△AEF∽△BEP，可得，推出AEBP=AFBE，由AF=2k，AE=2PA，BE=AB，推出2PAPB=2kAB，可得PAPB=AB．

解：．

成立．如圖，延長(zhǎng)AP交直線(xiàn)m于點(diǎn)E．

mn，

，，

又，

≌．

，即點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，

又，

直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半．

如圖，延長(zhǎng)AP交直線(xiàn)n于點(diǎn)E，作直線(xiàn)n于點(diǎn)

由得，

又，

是線(xiàn)段AE的垂直平分，

，，

∽．

，

，

，，，

，

．