Question

已知拋物線y=2x²-4mx+

1

2

與x軸有兩個不同的交點A、B，拋物線的頂點為C．
（1）當(dāng)△ABC為等邊三角形時，試確定點C的坐標(biāo)；
（2）如何平移符合條件（1）的拋物線，使AC=

3

2

AB；
（3）設(shè)點D、E分別是AC、BC的中點，點F、G分別是DC、EC的中點，問四邊形DFGE的面積S的大小與m的取值是否有關(guān)？若有關(guān)，寫出其關(guān)系式；若無關(guān)，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用根的判別式列出關(guān)于m的不等式，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為（x₁，0）（x₂，0），頂點坐標(biāo)為（h，k），利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出AB，h、k，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列出方程求解即可；
（2）用AB表示出k，然后列出方程求出m的值，從而得到頂點C的坐標(biāo)，再求出原拋物線的頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點的變化確定平移方法即可；
（3）根據(jù)三角形的中位線定理求出S_△DCE=

1

4

S_△ABC，S_△FCG=

1

4

S_△DCE，然后求出S_{四邊形DFGE}=

3

16

S_△ABC，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴△=（-4m）²-4×2×

1

2

＞0，
∴4m²-1＞0，
設(shè)拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為（x₁，0）（x₂，0），頂點坐標(biāo)為（h，k），
則AB=|x₁-x₂|=

(- -4m 2 )2-4× 1 2 2

=

4m2-1

，
h=-

-4m

2×2

=m，k=

4×2× 1 2 -(-4m)2

4×2

=

1-4m2

2

，
∵△ABC為等邊三角形，
∴|k|=

3

2

AB，
∴

4m2-1

2

=

3

2

×

4m2-1

，
∴m²=1，
解得m=±1，
當(dāng)m=1時，h=1，k=-

3

2

，
當(dāng)m=-1時，h=-1，k=-

3

2

，
所以，點C的坐標(biāo)為（1，-

3

2

）或（-1，-

3

2

）；

（2）由AC=

3

2

AB得，|k|=

2

AB，
所以

4m2-1

2

=

2

×

4m2-1

，
整理得m²=

9

4

，
解得m=±

3

2

，
所以，AB=

4×(± 3 2 )2-1

=2

2

，
|k|=

2

×2

2

=4，
k=-4，
∴平移后點C的坐標(biāo)為（

3

2

，-4）或（-

3

2

，-4），
所以，應(yīng)將（1）中C為（1，-

3

2

）的拋物線先向下平移

5

2

個單位，再向右平移

1

2

個單位，或向左平移

5

2

個單位；
將C為（-1，-

3

2

）的拋物線先向下平移

5

2

個單位，再向右平移

5

2

個單位，或向左平移

1

2

個單位；

（3）∵點D、E分別是AC、BC的中點，
∴S_△DCE=

1

4

S_△ABC，
∵點F、G分別是DC、EC的中點，
∴S_△FCG=

1

4

S_△DCE，
∴S_{四邊形DFGE}=

3

16

S_△ABC，
∵S_△ABC=

1

2

4m2-1

×

4m2-1

2

，
∴S=

3

16

×

1

2

4m2-1

×

4m2-1

2

=

3

64

（4m²-1）

4m2-1

，
∴四邊形DFGE的面積S的大小與m的取值有關(guān)，
其關(guān)系式為S=

3

64

（4m²-1）

4m2-1

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與x軸的交點問題，根與系數(shù)的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，表示出AB的長和頂點C的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．