Question

你覺得手機(jī)很神奇？它能在瞬間清晰地傳遞聲音、文字、圖象等信息，據(jù)說以后還能發(fā)送味道、觸覺信息呢！這里都有手機(jī)中電腦芯片的功勞．其實(shí)，這些信號在電腦芯片中都是以二進(jìn)制的形式給出的．每個(gè)二進(jìn)制數(shù)都由0和1構(gòu)成，電腦芯片上電子元件的“開”、“關(guān)”分別代表“1”和“0”．一組電子元件的“開”“關(guān)”狀態(tài)就表示相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)．例如“開”“開”“關(guān)”表示“110”．
如圖，電腦芯片的某段電路上分布著一組電子元件（假設(shè)它們首尾不相連），且相鄰的兩個(gè)元件不能同時(shí)是關(guān)的．（以下各小題要求寫出解答過程）

（1）若此電路上有4個(gè)元件，則這4個(gè)元件所有不同的“開”“關(guān)”狀態(tài)共有多少種？（請一一列出）；
（2）若用a_k表示電路上k（k≥1）只電子元件所有不同的“開”“關(guān)”狀態(tài)數(shù)，試探索a_k，a_k+1，a_k+2之間的關(guān)系（不要求論證）；
（3）試用（2）中探索出的遞推關(guān)系式，計(jì)算a₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）電路中一個(gè)電路元件2種狀態(tài)，電路上有4個(gè)元件，則這四個(gè)元件有16種狀態(tài)，又知相鄰的兩個(gè)元件不能同時(shí)是關(guān)的，于是可以推斷出4個(gè)元件所有不同的“開”“關(guān)”狀態(tài)共有8種，并寫出8種狀態(tài)，
（2）當(dāng)電路有兩個(gè)元件時(shí)，有不同狀態(tài)3種，當(dāng)電路有三個(gè)元件時(shí)，有不同狀態(tài)5種，當(dāng)電路有四個(gè)元件時(shí)，有不同狀態(tài)8種，當(dāng)電路有五個(gè)元件時(shí)，有不同狀態(tài)16種，于是推出ak+2=a_k+a_k+1，
（3）根據(jù)遞推關(guān)系式分別求出a₆，a₇，a₈，a₉的值，進(jìn)而求出a₁₀的值．

解答：解：（1）電路中一個(gè)電路元件2種狀態(tài)，電路上有4個(gè)元件，則這四個(gè)元件有16種狀態(tài)，又知相鄰的兩個(gè)元件不能同時(shí)是關(guān)的，
故可知4個(gè)元件所有不同的“開”“關(guān)”狀態(tài)共有8種，
這8種狀態(tài)分別為1111；1110；1101；1011；1010；0111；0110；0101；

（2）當(dāng)電路有兩個(gè)元件時(shí)，有不同狀態(tài)3種，
當(dāng)電路有三個(gè)元件時(shí)，有不同狀態(tài)5種，
當(dāng)電路有四個(gè)元件時(shí)，有不同狀態(tài)8種，
當(dāng)電路有五個(gè)元件時(shí)，有不同狀態(tài)16種，
于是推理可知ak+2=a_k+a_k+1，

（3）根據(jù)遞推關(guān)系式可知
a₆=a₅+a₄=24，a₇=a₆+a₅=40，a₈=a₇+a₆=64，
a₉=a₈+a₇=104，a₁₀=a₉+a₈=168．

點(diǎn)評：本題主要考查推理與論證的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)電路中不同數(shù)量的元件能組成的狀態(tài)種數(shù)，然后運(yùn)用推理論證的知識證出一般遞推式，此題有一定的難度．