Question

已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），在x軸上存在點(diǎn)Q（不與P點(diǎn)重合），以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在反比例函數(shù)y=-的圖象上．小明對(duì)上述問題進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)不論m取何值，符合上述條件的正方形一定有兩個(gè)，如圖所示，并且一個(gè)正方形的頂點(diǎn)M在第四象限，另一個(gè)正方形的頂點(diǎn)M₁在第二象限．
（1）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），請你寫出：M的坐標(biāo)是______；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），求直線M₁M的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）設(shè)正方形PQMN的邊長為s，
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1+s，-s），
∵點(diǎn)M落在反比例函數(shù)y=-的圖象上，
∴-s=-，
解得：s=1或s=-2（舍去），
∴M的坐標(biāo)是（2，-1）．
故答案為：（2，-1）；

（2）設(shè)正方形PQMN邊長為s，正方形PQ₁M₁N₁邊長為n，
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），
∴M（m+s，-s），M₁（m-n，n）
設(shè)M₁M表達(dá)式為y=kx+b，則有：
，
解得：，
∴M₁M表達(dá)式為：y=-x+m．
分析：（1）設(shè)正方形PQMN的邊長為s，由P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1+s，-s），又由點(diǎn)M落在反比例函數(shù)y=-的圖象上，即可求得點(diǎn)M的值；
（2）首先設(shè)正方形PQMN邊長為s，正方形PQ₁M₁N₁邊長為n，由P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），即可得M（m+s，-s），M₁（m-n，n），然后利用待定系數(shù)法，即可求得直線M₁M的函數(shù)關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)點(diǎn)所形成的幾何圖形在直角坐標(biāo)系中與反比例函數(shù)的應(yīng)用，是一道函數(shù)與幾何的綜合題，由幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系建立函數(shù)和推理探究等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)際上是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，融代數(shù)與幾何為一體，把代數(shù)問題與幾何問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．