Question

（1）邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°得到正方形AB′C′D′，兩圖疊成一個“蝶形風箏”（如圖1所示陰影部分），則這個風箏的面積是______．
（2）如圖2，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點O，則四邊形AB′OD的周長是______．

Answer 1

解：（1）如圖，設B′C′與CD相交于點E，
在Rt△ADE和Rt△AB′E，，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），
∴∠EAB′=∠EAD，
∵旋轉角為30°，
∴∠BAB′=30°，
∴∠EAD=（90°-30°）=30°，
在Rt△ADE中，ED=ADtan30°=1×=，
∴這個風箏的面積=2×S_△ADE=2××1×=；

（2）延長AB′，∵旋轉角為45°，
∴延長AB′經(jīng)過點C，
∴△OCB′是等腰直角三角形，
設OD=OB′=x，
則OC=OB′=x，
∴CD=x+x=1，
解得x==-1，
∴四邊形AB′OD的周長=2（1+-1）=2．
故答案為：（1），（2）2．
分析：（1）設B′C′與CD相交于點E，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△AB′E全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠EAB′=∠EAD，再根據(jù)旋轉角求出∠BAB′=30°，再解直角三角形求出ED的長，然后利用三角形的面積公式列式進行計算即可得解；
（2）延長AB′，根據(jù)正方形的對角線平方一組對角與旋轉角是45°可知AB′經(jīng)過點C，然后判定△OCB′是等腰直角三角形，然后設OD=OB′=x，在Rt△OCB′中，根據(jù)等腰直角三角形的性質列式計算求出x，從而得解．
點評：本題考查了旋轉的性質，主要利用了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，（2）根據(jù)正方形的性質與旋轉角判斷出AB′的延長線過點C是解題的關鍵．