Question

如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：

    第一步：如圖①，在線(xiàn)段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC(余下部分不再使用)；

    第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線(xiàn)GH將紙片剪成兩部分，并在線(xiàn)段GH上任意取一點(diǎn)M，線(xiàn)段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；

    第三步：如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)180°，使線(xiàn)段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)180°，使線(xiàn)段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．

    (注：裁剪和拼圖過(guò)程均無(wú)縫且不重疊)

    則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______cm，最大值為_(kāi)_______cm．

 

Answer 1

【答案】

20，（MN最短就是AB一半，最長(zhǎng)就是AB中點(diǎn)到C距離）

【解析】畫(huà)出第三步剪拼之后的四邊形M₁N₁N₂M₂的示意圖，如圖，

N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，

M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線(xiàn)定理），

又∵M(jìn)₁M₂∥N₁N₂，∴四邊形M₁N₁N₂M₂是一個(gè)平行四邊形，

其周長(zhǎng)為2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN．

∵BC=6為定值，∴四邊形的周長(zhǎng)取決于MN的大小．

如圖，

是剪拼之前的完整示意圖．

過(guò)G、H點(diǎn)作BC邊的平行線(xiàn)，分別交AB、CD于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，則四邊形PBCQ是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形是矩形ABCD的一半．

∵M(jìn)是線(xiàn)段PQ上的任意一點(diǎn)，N是線(xiàn)段BC上的任意一點(diǎn)，

根據(jù)垂線(xiàn)段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線(xiàn)之間的距離，即MN最小值為4；

而MN的最大值等于矩形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，即  =

∵四邊形M₁N₁N₂M₂的周長(zhǎng)=2BC+2MN=12+2MN，

∴四邊形M₁N₁N₂M₂周長(zhǎng)的最小值為12+2×4=20，

最大值為12+2×2 =12+4．