Question

16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+5與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．直線y=x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)D，AD交y軸于點(diǎn)E，連接CD，CD∥x軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線第四象限于點(diǎn)F，若tan∠BAF=$\frac{1}{2}$，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，P為直線AF上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AF，垂足為H，若HE=PE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于x軸的直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)正切函數(shù)值，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得t的值，根據(jù)第四項(xiàng)限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于零，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法，可得AF的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得E點(diǎn)是PQ的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)Q點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx+5與y軸交與C，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，即C（0，5）；
∵CD∥x軸，
∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，當(dāng)y=5時(shí)，x+=2=5，解得x=3，D（3，5），
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2，A（-2，0）．
拋物線A（-2，0），D（3，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-2）^{2}+b（-2）+5=0}\\{5=a×{3}^{2}+3b+5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5；
（2）設(shè)F（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+5），過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，則G（t，0），由∠BAF=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，得
AG=2FG．t-（-2）=2×[0-（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+5）]，
化簡(jiǎn)，得t²-4t-12=0，
解得t₁=-2，t₂=6，
∵F在第四象限，t＞0，t=-2（舍），t=6，即F（6，-4）；
（3）∵A（-2，0），F(xiàn)（6，-4），設(shè)直線AF解析式y(tǒng)=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{-4=6k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
AF的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1；
∵y=x+2交y軸于E點(diǎn)，當(dāng)x=0時(shí)，y═2，即E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
設(shè)直線PE交AF于點(diǎn)Q，∵HE=PE，
∴∠EHP=∠EPH，
∵PH⊥AF于H，
∴∠PHA=90°．
∴∠PQH+∠EHQ=90°，
∴EQ=EH．
∵HE=PE，
∴EQ=EP，即E為PQ中點(diǎn)．
設(shè)P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+5），∵E（0，2），
∴Q（-m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-1）．
∵Q在直線AF上，∴$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-1=-$\frac{1}{2}$（-m）-1，
整理，得m²=4m，解得m₁=0，m₂=4，當(dāng)m₁=0時(shí)，P₁（0，5），
當(dāng)m₂=4時(shí)，P₂（4，3），
綜上所述：P₁（0，5），P₂（4，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)的出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵；利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得出E點(diǎn)是PQ的中點(diǎn)是解題關(guān)鍵，又利用了圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式．