Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中k₁＞0．AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，且AC=1．

（1）若k₁=2，則AO的長為______，△BOD的面積為______；
（2）如圖1，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為k₁，且k₁＞1，當(dāng)AO=AB時(shí)，求k₁的值；
（3）如圖2，OC=4，BE⊥y軸于點(diǎn)E，函數(shù)的圖象分別與線段BE，BD交于點(diǎn)M，N，其中0＜k₂＜k₁．將△OMN的面積記為S₁，△BMN的面積記為S₂，若S=S₁-S₂，求S與k₂的函數(shù)關(guān)系式以及S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵AC=1，k₁=2，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴y==2，即OC=2，
∴AO==，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上，BD⊥x軸，
∴△BOD的面積為1．

（2）∵A，B兩點(diǎn)在函數(shù)C1：y=（x＞0）的圖象上，
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，k₁），（k₁，1）．
∵AO=AB，
由勾股定理得AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，
∴1+k₁²=（1-k₁）²+（k₁-1）²．
解得k₁=2+或k₁=2-，
∵k₁＞1，
∴k₁=2+；

（3）∵OC=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）．
∴k₁=4．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，），
∵BE⊥y軸于點(diǎn)E，BD⊥x軸于點(diǎn)D，
∴四邊形ODBE為矩形，且S_{四邊形ODBE}=4，
點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m．
∵點(diǎn)M，N在函數(shù)C₂：y=（x＞0）的圖象上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，）．
∴S_△OME=S_△OND=．
∴S₂=BM•BN=（m-）（-）=．
∴S=S₁-S₂=（4-k₂-S₂）-S₂=4-k₂-2S₂．
∴S=4-k₂-2×=-k₂²+k₂，
其中0＜k₂＜4．
∵S=-k₂²+k₂=-k₂（k₂-1）²，而-＜0，
∴當(dāng)k₂=2時(shí)，S的最大值為1．
故答案為：，1．
分析：（1）把k₁=2，AC=1代入反比例函數(shù)的解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出OA的長；根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可直接得出△BOD的面積；
（2）由于A，B兩點(diǎn)在函數(shù)C1：y=（x＞0）的圖象上，故點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，k₁），（k₁，1），再由AO=AB，可根據(jù)由勾股定理得出AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，再求出k₁的值即可；
（3））先根據(jù)OC=4得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，故可得出k₁的值，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，），因?yàn)锽E⊥y軸于點(diǎn)E，BD⊥x軸于點(diǎn)D，所以四邊形ODBE為矩形，且S_{四邊形ODBE}=4，再由點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m．點(diǎn)M，N在函數(shù)C₂：y=（x＞0）的圖象上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，）．所以S_△OME=S_△OND=，S₂=BM•BN，再由S=S₁-S₂可得出關(guān)于k₂的解析式，由其中0＜k₂＜4即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，此題涉及到勾股定理、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及二次函數(shù)的最值問題等相關(guān)知識(shí)，難度較大．