【題目】拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A,B兩點(diǎn),(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣2,0)、(8,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q,交BD于點(diǎn)M.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),試探究m為何值時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形?
(3)在(2)的結(jié)論下,試問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)N(不同于點(diǎn)Q),使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:將A(﹣2,0),B(8,0)代入拋物線y=ax2+bx﹣4得:
,
解得: ,
∴拋物線的解析式:y= x2﹣ x﹣4
(2)
解:當(dāng)x=0時(shí),y=﹣4,
∴C(0,﹣4),
∴OC=4,
∵四邊形DECB是菱形,
∴OD=OC=4,
∴D(0,4),
設(shè)BD的解析式為:y=kx+b,
把B(8,0)、D(0,4)代入得: ,
解得: ,
∴BD的解析式為:y=﹣ x+4,
∵l⊥x軸,
∴M(m,﹣ m+4)、Q(m, m2﹣ m﹣4),
如圖1,∵M(jìn)Q∥CD,
∴當(dāng)MQ=DC時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形,
∴(﹣ m+4)﹣( m2﹣ m﹣4)=4﹣(﹣4),
化簡(jiǎn)得:m2﹣4m=0,
解得m1=0(不合題意舍去),m2=4,
∴當(dāng)m=4時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形
(3)
解:如圖2,要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積,N點(diǎn)到BC的距離與Q到BC的距離相等;
設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b,
把B(8,0)、C(0,﹣4)代入得: ,
解得: ,
∴直線BC的解析式為:y= x﹣4,
由(2)知:當(dāng)P(4,0)時(shí),四邊形DCQM為平行四邊形,
∴BM∥QC,BM=QC,
得△MFB≌△QFC,
分別過(guò)M、Q作BC的平行線l1、l2,
所以過(guò)M或Q點(diǎn)的斜率為的 直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求,
當(dāng)m=4時(shí),y=﹣ m+4=﹣ ×4+4=2,
∴M(4,2),
當(dāng)m=4時(shí),y= m2﹣ m﹣4= ×16﹣ ×4﹣4=﹣6,
Q(4,﹣6),
①設(shè)直線l1的解析式為:y= x+b,
∵直線l1過(guò)Q點(diǎn)時(shí),
∴﹣6= ×4+b,b=﹣8,
∴直線l1的解析式為:y= x﹣8,
則 ,
= x﹣8,
解得x1=x2=4(與Q重合,舍去),
②∵直線l2過(guò)M點(diǎn),
同理求得直線l2的解析式為:y= x,
則 ,
= x,
x2﹣x﹣16=0,
解得x1=4+4 ,x2=4﹣4 ,
代入y= x,得 , ,
則N1(4+4 ,2+2 ),N2(4﹣4 ,2﹣2 ),
故符合條件的N的坐標(biāo)為N1(4+4 ,2+2 ),N2(4﹣4 ,2﹣2 ).
【解析】(1)直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,列方程組可求a、b的值,寫出解析式即可;(2)先求點(diǎn)C和D的坐標(biāo),求直線BD的解析式,根據(jù)橫坐標(biāo)m表示出點(diǎn)Q和M的縱坐標(biāo),由MQ∥CD,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明MQ=CD即可,因此列等式:(﹣ m+4)﹣( m2﹣ m﹣4)=4﹣(﹣4),求m即可;(3)要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積,可先判斷四邊形CQBM是平行四邊形,解得M點(diǎn)到BC的距離與Q到BC的距離相等,所以過(guò)M或Q點(diǎn)的與直線BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求,列方程組可得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若直線y=kx+b的大致圖象如圖所示,則不等式kx+b 3的解集是( )
A.x >0
B. x <2
C.x ≥0
D.x≤2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形OABC中,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,4),點(diǎn)E、F分別在邊BC、BA上,OE=2,若∠EOF=45°,則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )
A. B. 1 C. D. -1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列兩個(gè)等式:2﹣=2×+1,5﹣=5×+1,給出定義如下:我們稱使等式a﹣b=ab+1的成立的一對(duì)有理數(shù)a,b為“共生有理數(shù)對(duì)”,記為(a,b),如:數(shù)對(duì)(2,),(5,),都是“共生有理數(shù)對(duì)”.
(1)數(shù)對(duì)(﹣2,1),(3,)中是“共生有理數(shù)對(duì)”的是 ;
(2)若(m,n)是“共生有理數(shù)對(duì)”,則(﹣n,﹣m) “共生有理數(shù)對(duì)”(填“是”或“不是”);
(3)請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粚?duì)符合條件的“共生有理數(shù)對(duì)”為 ;(注意:不能與題目中已有的“共生有理數(shù)對(duì)”重復(fù))
(4)若(a,3)是“共生有理數(shù)對(duì)”,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,垂足為D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADCE是正方形?給出證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形.若點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā),同時(shí)點(diǎn)Q以1.5cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā),都按逆時(shí)針?lè)较蜓?/span>△ABC的邊運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6秒.
(1)試求出運(yùn)動(dòng)到多少秒時(shí),直線PQ與△ABC的某邊平行;
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t1秒時(shí),P、Q對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P1、Q1,當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t2秒時(shí)(t1≠t2),P、Q對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P2、Q2,試問(wèn):△P1CQ1與△P2CQ2能否全等?若能,求出t1、t2的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2﹣ x+2(a≠0)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A(﹣4,0).
(1)求拋物線與直線AC的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)D(m,n)是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn),四邊形OCDA的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系;
(3)若點(diǎn)E為拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)F為x軸上任意一點(diǎn),當(dāng)以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商廈用8萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念運(yùn)動(dòng)休閑衫,面市后供不應(yīng)求,商廈又用17.6萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了第二批這種襯衫,所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍,但單價(jià)貴了4元,商廈銷售這種運(yùn)動(dòng)休閑衫時(shí)每件定價(jià)都是58元,最后剩下的150件按八折銷售,很快售完.
(1)商廈第一批和第二批各購(gòu)進(jìn)休閑衫多少件?
(2)請(qǐng)問(wèn)在這兩筆生意中,商廈共盈利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,完成系列問(wèn)題:
(1)將點(diǎn)B向右移動(dòng)六個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)D,在數(shù)軸上表示出點(diǎn)D.
(2)在數(shù)軸上找到點(diǎn)E,使點(diǎn)E到A、C兩點(diǎn)的距離相等.并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)E表示的數(shù).
(3)在數(shù)軸上有一點(diǎn)F,滿足點(diǎn)F到點(diǎn)A與點(diǎn)F到點(diǎn)C的距離和是9,則點(diǎn)F表示的數(shù)是 .
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