Question

7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸、y軸于點(diǎn)A（3，0）與B（0，-4），現(xiàn)有一半徑為1的動(dòng)圓的圓心位于原點(diǎn)處，動(dòng)圓以每秒1個(gè)單位長度的速度向右作平移運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），則動(dòng)圓與直線AB相交時(shí)t的取值范圍是$\frac{7}{4}$＜t＜$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 在Rt△OAB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，過P點(diǎn)作AB的垂線，垂足為Q，PQ=1；當(dāng)⊙O在直線AB的左邊與直線AB相切時(shí)，AP=3-t，根據(jù)△APQ∽△ABO中的成比例線段求解；當(dāng)⊙P在直線AB的右邊與直線AB相切時(shí)，AP=t-3，根據(jù)△APQ∽△ABO中的成比例線段求解；得出動(dòng)圓與直線AB相切時(shí)t的取值，即可得出動(dòng)圓與直線AB相交時(shí)t的取值范圍．

解答 解：如圖所示：
∵A（3，0）、B（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
過P點(diǎn)作AB的垂線，垂足為Q，則PQ=1；
①當(dāng)⊙P在直線AB的左邊與直線AB相切時(shí)，AP=3-t，
則△APQ∽△ABO，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PQ}{OB}$，即$\frac{3-t}{5}=\frac{1}{4}$，
解得：t=$\frac{7}{4}$；
②當(dāng)⊙P在直線AB的右邊與直線AB相切時(shí)，AP=t-3；
則△APQ∽△ABO，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PQ}{OB}$，即$\frac{t-3}{5}=\frac{1}{4}$，
解得：t=$\frac{17}{4}$；
綜上所述：動(dòng)圓與直線AB相切時(shí)t的取值是$\frac{7}{4}$或$\frac{17}{4}$，
∴動(dòng)圓與直線AB相交時(shí)t的取值范圍是$\frac{7}{4}$＜t＜$\frac{17}{4}$．
故答案為：$\frac{7}{4}$＜t＜$\frac{17}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．