Question

18．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，且AB=2，拋物線的對稱軸為直線x=2；
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如果拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△APC周長的最小，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)
及△APC周長；
（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）由AB=2，拋物線的對稱軸為x=2，得知拋物線與x軸交點(diǎn)為（1，0）、（3，0），即1、3為方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根，結(jié)合跟與系數(shù)的關(guān)系可求得b、c；
（2）由拋物線的對稱性，可得出PA+PC最短時(shí)，P點(diǎn)為線段BC與對稱軸的交點(diǎn)，由此可得出結(jié)論；
（3）平行四邊形分兩種情況，一種AB為對角線，由平行四邊形對角線的性質(zhì)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；另一種，AB為一條邊，根據(jù)對比相等，亦能求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵AB=2，對稱軸為直線x=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，
∴1，3是方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得1+3=-b，1×3=c，
∴b=-4，c=3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-4x+3．
（2）連接AC，BC，BC交對稱軸于點(diǎn)P，連接PA，如圖1，

由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-4x+3，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵點(diǎn)A，B關(guān)于對稱軸直線x=2對稱，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，此時(shí)，PB+PC=BC，
∴當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸上運(yùn)動時(shí)，PA+PC的最小值等于BC，
∴△APC周長的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$．
（3）以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況，
①線段AB為對角線，如圖2，

∵平行四邊對角線互相平分，
∴DE在對稱軸上，此時(shí)D點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，
將x=2代入y=x²-4x+3中，得y=-1，
即點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-1）．
②線段AB為邊，如圖3，

∵四邊形ABDE為平行四邊形，
∴ED=AB=2，
設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，m），則點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，m）或（0，m），
∵點(diǎn)D在拋物線上，
將x=0和x=4分別代入y=x²-4x+3中，解得m均為3，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）或（0，3）．
綜合①②得點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為：（2，-1）、（0，3）、（4，3）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)以及拋物線的對稱性，解題的關(guān)鍵：（1）利用已知分別找出A、B的坐標(biāo)；（2）借助拋物線的對稱性；（3）①利用平行四邊形對角線互相平分；②利用平行四邊形對比相等．