Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AD=CD=4，∠B=45°，點E為直線DC上一點，連接AE，作EF⊥AE交直線CD于點F．
（1）若點E為線段DC上一點（與點D、C不重合）．
①求證：∠DAE=∠CEF；
②求證：AE=EF；
（2）連接AF，若△AEF的面積為

17

2

，求線段CE的長（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角梯形

專題：

分析：（1）①根據(jù)同角的余角相等證明即可；
②連接AC，判斷出△ACD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACD=45°，過點E作EG⊥CD交AC于G，判斷出△CEG是等腰直角三角形，再求出∠AGE=∠FCE=135°，CE=GE，再求出∠AEG=∠CEF，然后利用“角邊角”證明△AEG和△FCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的面積求出AE²，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)CE=CD-DE代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

解答：（1）證明：①∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠CEF+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF；
②如圖，連接AC，
∵∠D=90°，AD=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
過點E作EG⊥CD交AC于G，則△CEG是等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，CE=GE，
∵∠B=45°，DC∥AB，
∴∠FCE=180°-45°=135°，
∴∠AGE=∠FCE=135°，
∵∠D=90°，EG⊥CD，
∴AD∥EG，
∴∠AEG=∠DAE，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AEG和△FCE中，

∠AEG=∠CEF CE=EG ∠AGE=∠FCE

，
∴△AEG≌△FCE（ASA），
∴AE=EF；

（2）解：連接AF，則△AEF是等腰直角三角形，
所以△AEF的面積=

1

2

AE²=

17

2

，
所以AE²=17，
在Rt△ADE中，DE=

AE2-AD2

=

17-42

=1，
所以CE=CD-DE=4-1=3．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．