Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=

5

，求BE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形,直角三角形斜邊上的中線

專題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）根據(jù)∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可證明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：

5

，即可得出sinB的值；
（2）根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB=1：

5

，再由AB=2

5

，得AC=2，則CE=1，從而得出BE．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=

5

CH，
∴CH：AC=1：

5

，
∴sinB=

5

5

；

（2）∵sinB=

5

5

，
∴AC：AB=1：

5

，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB=

5

5

=

1

5

，
設(shè)CE=x（x＞0），則AE=

5

x，則x²+2²=（

5

x）²，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∵AB=2CD=2

5

，
∴BC=4，
∴BE=BC-CE=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質(zhì)的應(yīng)用，難度不大．