Question

18．如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，BD平分∠ABC，過點D作DF∥AB分別交AC、BC于點E、F．
（1）求證：四邊形ABFD是菱形；
（2）設AC⊥AB，求證：AC•OE=AB•EF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到四邊形ABFD是平行四邊形，由角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠CBD，等量代換得到∠ADB=∠ABD，證得AB=AD，即可得到結(jié)論；
（2）連接AF，OF，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD垂直平分AF，線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO=OF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠FAC，推出△ABC∽△EOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四邊形ABFD是菱形；

（2）連接AF，OF，
∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，
∴∠CEF=∠BAC=90°，
∵四邊形ABFD是菱形，
∴BD垂直平分AF，
∵AB⊥AC，
∴∠OAF+∠AOB=∠ABD+∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠ABD，
∵BD垂直平分AF，
∴AO=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠FOE=2∠FAO=2∠ABD=∠ABC，
∴△ABC∽△EOF，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{EF}{OE}$，
∴AC•OE=AB•EF．

點評 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．