Question

8．如圖，△ABC內(nèi)接于半圓O，AB為⊙O直徑，點(diǎn)D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD．
（1）求證：AP=DP．
（2）若⊙O的半徑為5，AD=6，求DP的長．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建直角△ADB，得∠2與∠DAB互余，由DE⊥AB得∠3與∠DAB互余，由等弧所對的圓周角相等得∠1=∠2，根據(jù)等量代換得∠1=∠3，再由等角對等邊得AP=DP；
（2）先由勾股定理求DB=8，再根據(jù)面積相等求斜邊上的高DE的長；由相似得AE的長，最后在直角△ADE中設(shè)PD=x，由勾股定理列方程，可求出x的值，即是PD的長．

解答 證明：（1）連接BD，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠1=∠2，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠2+∠DAB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠3+∠DAE=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DP=AP；
（2）由勾股定理得：DB=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
由S_△ADB=$\frac{1}{2}$×AD×BD=$\frac{1}{2}$×AB×DE，
$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10×DE
∴DE=4.8，
∵∠2=∠3，∠AED=∠ADB，
∴△AED～△ADB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{AE}{6}=\frac{6}{10}$，
∴AE=3.6，
設(shè)PD=x，則AP=x，PE=4.8-x，
由勾股定理得：x²=3.6²+（4.8-x）²，
x=3.75，
∴PD=3.75．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外接圓、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識的綜合應(yīng)用；同時(shí)還運(yùn)用了面積法求高，這在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．