Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OABC的頂點B在y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點．現(xiàn)將正方形OABC繞O點按順時針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)點A第一次落到y(tǒng)軸正半軸上時，求邊BC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；
（2）若線段AB與y軸的交點為M（如圖2），線段BC與直線y=x的交點為N．設(shè)△MNB的周長為l，在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中l(wèi)值是否有改變？并說明你的結(jié)論；
（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ，當(dāng)θ為何值時，△OMN的面積最��？求出這個最小值，并求出此時△BMN的內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠AOB=∠BOC=45°，BO=

2

，再利用S=S_扇形OBB′+S_△OC′B′-S_△OCB-S_扇形OCC′=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′求出即可；
（2）首先延長BA交直線y=-x于E點，Rt△AEO≌Rt△CNO，得出AE=CN，OE=ON，進(jìn)而得出△MOE≌△MON，得出ME=MN，進(jìn)而得出l的值不變；
（3）設(shè)MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，利用 MN+MB+NB=2，得出m²=（1-t）²+（2-m-1+t）²，即可得出m的取值范圍，即可得出，△OMN的面積最小值，再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑求法得出答案即可．

解答：解：（1）設(shè)旋轉(zhuǎn)后C在C′、B在B′、A在A′，
∵邊長為1的正方形OABC的頂點B在y軸的正半軸上，
∴BO平分∠AOC，即∠AOB=∠BOC=45°，BO=

2

S=S_扇形OBB′+S_△OC′B′-S_△OCB-S_扇形OCC′，
=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′，
=

45π×( 2 )2

360

-

45π×12

360

，
=

π

8

；

（2）延長BA交直線y=-x于E點，
在Rt△AEO與Rt△CNO中，
∵直線y=-x與直線y=x垂直，
∴∠EON=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOE=∠CON，
即

∠EAO=∠C=90° ∠AOE=∠CON AO=CO

，
∴Rt△AEO≌Rt△CNO，
所以AE=CN，OE=ON．
又∠MOE=∠MON=45°，
所以△MOE≌△MON，
ME=MN．
所以：
l=MN+MB+BN，
=ME+MB+BN，
=BE+BN，
=BA+AE+BN，
=BA+CN+BN，
=AB+BC，
=2，
故△MBN的周長為定值2．

（3）當(dāng)θ=22.5°時，△OMN的面積最小，
因為S_△OMN=S_△MOE=

1

2

OA•ME=

1

2

ME=

1

2

MN，
設(shè)MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，
因為  MN+MB+NB=2，
所以m²=（1-t）²+（2-m-1+t）²，
得：t²-mt+1-m=0，
因為△=m²-4（1-m）≥0，
所以m≤-2-2

2

（舍去）或m≥2

2

-2，
所以S_△OMN的最小值為：

1

2

×（2

2

-2）=

2

-1．
此時△=0，
∴t=

m

2

=

ME

2

，
∴A為ME的中點．
又因為OA⊥ME，所以O(shè)A是∠MOE的平分線，所以θ=22.5°．
在Rt△MNB中，BM=1-t=2-

2

，BN=2-MN-BM=2-

2

，MN=2

2

-2，
設(shè)Rt△BMN的內(nèi)切圓半徑為r，
所以  r=

BM+BN-MN

2

=3-2

2

．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根的判別式、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形面積求法等知識，利用圖形旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律得出對應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．