Question

已知關于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有兩個實數根x₁和x₂．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）當x₁²-x₂²=0時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有兩實數根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）由x₁²-x₂²=0得x₁+x₂=0或x₁-x₂=0；當x₁+x₂=0時，運用兩根關系可以得到-2m-1=0或方程有兩個相等的實根，據此即可求得m的值．

解答：解：（1）由題意有△=（2m-1）²-4m²≥0，
解得m≤

1

4

，
∴實數m的取值范圍是m≤

1

4

；

（2）由兩根關系，得根x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²，
由x₁²-x₂²=0得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
若x₁+x₂=0，即-（2m-1）=0，解得m=

1

2

，
∵

1

2

＞

1

4

，
∴m=

1

2

不合題意，舍去，
若x₁-x₂=0，即x₁=x₂
∴△=0，由（1）知m=

1

4

，
故當x₁²-x₂²=0時，m=

1

4

．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數關系，利用兩根關系得出的結果必須滿足△≥0的條件．