Question

如圖1所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與x軸負半軸上．過點B、C作直線l．將直線l平移，平移后的直線l與x軸交于點D，與y軸交于點E．設平移距離CD為t（t≥0），直角梯形OABC被直線l掃過的面積（圖中陰影部份）為s，s關于t的函數(shù)圖象如圖2所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，M的坐標是（2，8），N點的橫坐標是4．

（1）求梯形上底長AB=

 

．
（2）求直角梯形OABC的面積．
（2）求S關于t的函數(shù)解析式并寫出相應的t取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）結合兩個圖形可知M點坐標為（2，8），從而得AB=2，OA=4；
（2）由N的橫坐標為4，即可得直角梯形的面積．
（3）利用當0≤t≤2時，當2＜t＜4時，陰影部分的面積=直角梯形OABC的面積-三角形ODE的面積，只要求得三角形的面積即可，把OD、OE用含t的式子表示出來，即可得到三角形的面積，由第（2）問已求得直角梯形的面積，代入從而得到陰影部分的面積，再利用t≥4時求出即可．

解答：解：（1）由圖（2）知，M點的坐標是（2，8）
∴由此判斷：AB=2，OA=4；
故答案為：2；

（2）∵N點的橫坐標是4，NQ是平行于x軸的射線，
∴CO=4，
∴直角梯形OABC的面積為：

1

2

（AB+OC）×OA=

1

2

×（2+4）×4=12；

（3）當0≤t≤2時，設直線解析式為：s=kt，將（2，8）代入得：
8=2k，
解得：k=4，
∴直線解析式為：s=4t；
當2＜t＜4時，
陰影部分的面積=直角梯形OABC的面積-三角形ODE的面積
∴s=12-

1

2

OD•OE，
∵∠EDO=∠BCO，
∴tan∠EDO=

OE

OD

=tan∠BCD=

OA

OC-AB

=

4

4-2

=2，
∵OD=4-t，
∴OE=2（4-t），
∴s=12-

1

2

×2（4-t）•（4-t）=12-（4-t）²
s=-t²+8t-4．
當t≥4時，s=12（t≥4），
綜上所述：s=

4t(0≤t≤2) -t2+8t-4(2＜t＜4) 12(t≥4)

．

點評：本題主要考查了直角梯形、三角形面積、二次函數(shù)等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．