Question

（2010•順義區(qū)）如圖，⊙O的直徑AB=4，C、D為圓周上兩點(diǎn)，且四邊形OBCD是菱形，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)EF∥AC，交BA、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F．
（1）求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證EF是⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠2=90°即可．
（2）連接OC，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)先求出∠EOD=∠B=60°，再根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)求出DE的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵四邊形OBCD是菱形，
∴OD∥BC．
∴∠1=∠ACB=90°．
∵EF∥AC，
∴∠2=∠1=90°．
∵OD是半徑，
∴EF是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：連接OC，
∵直徑AB=4，
∴半徑OB=OC=2．
∵四邊形OBCD是菱形，
∴OD=BC=OB=OC=2．
∴∠B=60°．
∵OD∥BC，
∴∠EOD=∠B=60°．
在Rt△EOD中，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了菱形的判定和性質(zhì)及三角函數(shù)的知識(shí)．