Question

（本小題滿分12分） 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿CA向終點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)，連接PM，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜2.5）．

（1）當(dāng)AP=AM時(shí)，求t的值.

（2）設(shè)四邊形BPMC的面積為（cm），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形BPMC的面積是Rt△ABC面積的？若存在，求出相應(yīng)t的值，若不存在，說明理由；

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使以M，P，A為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出相應(yīng)t的值;若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）y =；（3）t=2；（4）或.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)锳M=4－t,AP=2t，所以當(dāng)AP=AM時(shí)，則4－t= 2t，解方程得；（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，根據(jù)得PH=，利用可求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) =；（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形BPMC的面積是Rt△ABC面積的，則=×6，然后解方程即可；（4）分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況討論.

試題解析：【解析】
（1）如圖，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．

∴根據(jù)勾股定理，得AB==5cm．

AM=4－t,AP=2t

當(dāng)AP=AM時(shí)，則

4－t= 2t， ∴

當(dāng)時(shí)， AP=AM 3分

過點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，則PH∥BC，

∴,即∴PH=.

∴=6－()

y = 7分

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形BPMC的面積是Rt△ABC面積的，則=×6，解方程得，因?yàn)椋?＜t＜2.5），所以當(dāng)t=2時(shí)，四邊形BPMC的面積是Rt△ABC面積的； 9分

（4）分兩種情況討論，當(dāng) △AMP∽△ABC時(shí)所以解得，當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，以M，P，A為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似 12分.

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定與性質(zhì)；4.函數(shù)與幾何知識(shí).