Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，⊙O交x軸于A、B兩點，點P為圓上一動點PQ⊥x軸于點Q，點P運動到某一時刻：PQ=$\sqrt{3}$，AQ=3．
（1）求⊙O的半徑；
（2）當點C（m，n）在第三象限的圓弧上運動，CD⊥x軸于D，在x軸上取一點I（點I在點D的左側(cè)），使ID=CD，過點I作x 軸的垂線，并在垂線上取一點T（點T在x軸上方），將TC繞點T逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段TM，MN⊥x軸于點N，設(shè)IT=p，MN=q，判斷關(guān)于x的方程：nx²+qx-p=0根的情況；
（3）在（2）的條件下，作直線MI，判斷當點P運動過程中，直線MI與⊙O的位置關(guān)系，并判斷m的取值情況．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)sin∠PAQ=$\frac{PQ}{PA}$=$\frac{PB}{AB}$即可解決問題．
（2）如圖2中，作TG⊥MN于G，CK⊥TI于K，先證明△KTC≌△GTM，再證明四邊形TING是矩形，得q=p-n，再利用判別式即可解決問題．
（3）如圖2中，當OC∥MI時，作OH⊥MI，求出相切時m的值即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接PA、PB．
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∵∠PQA=90°，PQ=$\sqrt{3}$，AQ=3，
∴PA=$\sqrt{P{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，sin∠PAQ=$\frac{PQ}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PAB=30°，
∴PB=PA•tan30°=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
∴AB=2PB=4，
∴⊙O 的半徑為2．
（2）如圖2中，作TG⊥MN于G，CK⊥TI于K．
∵∠CKI=∠KID=∠CDI=90°，
∴四邊形CDIK是矩形，
∵ID=CD，
∴四邊形CDIK是正方形，
∴CD=KC，
∵∠KTG=∠CTM=90°，
∴∠KTC=∠GTM，
在△KTC和△GTM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠TKC=∠TGM}\\{∠KTC=∠GTM}\\{TC=TM}\end{array}\right.$，
∴△KTC≌△GTM，
∴KC=MG=CD=-n，
∵∠TIN=∠TGN=∠GNI=90°，
∴四邊形TING是矩形，
∴TI=GN=p，
∴MN=MG+GN，
∴q=P+（-n）=P-n，
∵關(guān)于x的方程：nx²+qx-p=0，△=q²+4np=（p-n）²+4np=（p+n）²＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（3）如圖2中，當OC∥MI時，作OH⊥MI，
∵四邊形HICO是正方形，
∴∠KIC=45°，
∵△TCM是等腰直角三角形，
∴∠TMC=45°，
∴∠KIC=∠TMC，
∴T、I、C、M四點共圓，
∴∠CIM=∠CTM=90°，
∵OC∥IM，
∴∠ICO=90°，
∵∠HIC=∠ICO=∠IHO=90°，
∴四邊形IHOC是矩形，
∵∠CIO=∠CIO=45°，
∴CI=CO，
∴四邊形OCIH是正方形，
∴OH=OC，
∴直線MI是⊙O的切線，
∵CO=CI=2，
∴IC=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴點C坐標（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）時直線MI與⊙O相切，
∴當m=-$\sqrt{2}$時，直線IM與⊙O相切，當-2＜m＜-$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$＜m＜0時，直線MI與⊙O相切．

點評 本題考查圓的有關(guān)知識、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考壓軸題．