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1.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以邊上AC上一點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作⊙O,⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D,并與邊AC相交于另一點(diǎn)F.
(1)求證:BD是⊙O的切線.
(2)若AB=3,E是半圓^AGF上一動(dòng)點(diǎn),連接AE,AD,DE.
填空:
①當(dāng)^AE的長(zhǎng)度是23π時(shí),四邊形ABDE是菱形;
②當(dāng)^AE的長(zhǎng)度是13π或π時(shí),△ADE是直角三角形.

分析 (1)首先連接OD,由在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D,易得AB=BD,繼而證得∠ODB=∠BAC=90°,即可證得結(jié)論;
(2)①易得當(dāng)DE⊥AC時(shí),四邊形ABDE是菱形,然后求得∠AOE的度數(shù),半徑OD的長(zhǎng),則可求得答案;
②分別從∠ADE=90°,∠DAE=90°,∠AED=90°去分析求解即可求得答案.

解答 (1)證明:如圖1,連接OD,
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,
∴AB=12BC,
∵D是BC的中點(diǎn),
∴BD=12BC,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODB=∠BAO=90°,
即OD⊥BC,
∴BD是⊙O的切線.

(2)①當(dāng)DE⊥AC時(shí),四邊形ABDE是菱形;
如圖2,設(shè)DE交AC于點(diǎn)M,連接OE,則DE=2DM,
∵∠C=30°,
∴CD=2DM,∴DE=CD=AB=12BC,
∵∠BAC=90°,
∴DE∥AB,
∴四邊形ABDE是平行四邊形,
∵AB=BD,
∴四邊形ABDE是菱形;
∵AD=BD=AB=CD=12BC=3,
∴△ABD是等邊三角形,OD=CD•tan30°=1,
∴∠ADB=60°,
∵∠CDE=90°-∠C=60°,
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°,
∴∠AOE=2∠ADE=120°,
^AE的長(zhǎng)度為:\frac{120×π×1}{180}=\frac{2}{3}π;
故答案為:\frac{2}{3}π

②若∠ADE=90°,則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,此時(shí)\widehat{AE}的長(zhǎng)度為:\frac{180×π×1}{180}=π;
若∠DAE=90°,則DE是直徑,則∠AOE=2∠ADO=60°,此時(shí)\widehat{AE}的長(zhǎng)度為:\frac{60×π×1}{180}=\frac{1}{3}π;
∵AD不是直徑,
∴∠AED≠90°;
綜上可得:當(dāng)\widehat{AE}的長(zhǎng)度是\frac{1}{3}π或π時(shí),△ADE是直角三角形.
故答案為:\frac{1}{3}π或π.

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題.考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式等知識(shí).注意準(zhǔn)確作出輔助線,利用分類討論思想求解是解此題的關(guān)鍵.

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