Question

（1）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC,⊙O的弦AE交

于BC于D.　求證：AB.AC=AD.AE

(2)在（1）的條件下當弦AE的延長線與BC的延長線相交于點D時，上述結(jié)論是

否還成立？若成立，請給予證明。若不成立，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析(2) 上述結(jié)論仍成立，證明見解析

【解析】（1）證明：連接CE，

∵AB=AC，

∴，

∴∠AEC=∠ACD；

又∵∠EAC=∠DAC，

∴△AEC∽△ACD，

∴，即AC²=AD•AE；

又∵AB=AC，

∴AB•AC=AD•AE．

（2）答：上述結(jié)論仍成立．

證明：連接BE，

∵AB=AC，

∴，

∴∠AEB=∠ABD；

又∵∠EAB=∠DAB

∴△AEB∽△ABD，

∴，即AB²=AD•AE．

又∵AB=AC，

∴AB•AC=AD•AE．

（1）要證明AB•AC=AD•AE成立，只要能證得，要用AB=AC，結(jié)合圓，等弧對等角，觀察本題無平行關(guān)系，首先考慮三角形的相似．連接CE，可證明△AEC∽△ACD，問題解決．

（2）假設(shè)結(jié)論仍成立，考慮作輔助線，看是否有三角形相似，能說明與AB•AC=AD•AE有關(guān)的成比例的線段關(guān)系．連接BE，可證得△AEB∽△ABD，進而可使問題解決．