Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)是2．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x的正半軸上，點(diǎn)C在y的正半軸上．一條拋物線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，頂點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）正方形OABC的對(duì)角線OB與拋物線交于E點(diǎn)，線段FG過(guò)點(diǎn)E與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于F，G點(diǎn)，試比較線段OE與EG的長(zhǎng)度；

（3）點(diǎn)H是拋物線上在正方形內(nèi)部的任意一點(diǎn)，線段IJ過(guò)點(diǎn)H與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于I、J點(diǎn)，點(diǎn)K在y軸的正半軸上，且OK=OH，請(qǐng)證明△OHI≌△JKC．

 

Answer 1

 

（1）

（2）OE=EG

（3）證明略

解析:解：(1)由題意，設(shè)拋物線的解析式為:.…………1分

將點(diǎn)D的坐標(biāo)(0,1),點(diǎn)A的坐標(biāo)(2,0)代入,得

a = ，b=1.

所求拋物線的解析式為.…………………3分

(2)由于點(diǎn)E在正方形的對(duì)角線OB上,又在拋物線上,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,m)(),則.  

解得 (舍去).………4分

所以O(shè)E=.………………………5分

所以.

所以O(shè)E=EG. ……………………………………6分

(3)設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(p,q)(,),

由于點(diǎn)H在拋物線上,

所以,即.

因?yàn)?img width=293 height=23 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/imagenew/czsx/7/159747.png">,…8分

所以O(shè)H=2–q.

所以O(shè)K=OH=2–q.

所以CK=2－(2－q)=q=IH.         ……………………………………9分

因?yàn)镃J=OI, ∠OIH=∠JCK=90º,

所以△OHI≌△JKC.…………………………10分