Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M為邊AC上一點（不包括點A和C），以點A為圓心，AM長為半徑作劣弧交AB于點N，將

MN

沿AB水平向右平移，使點M落在BC上點M′處，則

MN

掃過的最大面積為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,平移的性質(zhì)

專題：

分析：由平移的性質(zhì)可知

MN

掃過的面積為一個矩形，過C作C⊥AB，交MM′于H，設(shè)矩形的長為y，DH=x，矩形的面積為s，因為MM′∥AB，所以△CMM′∽△CAB，進而得到y(tǒng)和x的關(guān)系式，再利用矩形的面積即可得到s和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出

MN

掃過的最大面積．

解答：解：過C作C⊥AB，交MM′于H，設(shè)矩形的寬為y，DH=x，矩形的面積為s，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴CD=

AC•BC

AB

=2.4，
∵MM′∥AB，
∴△CMM′∽△CAB，
∴

CH

CD

=

MM′

AB

，
∴

2.4-x

2.4

=

y

5

，
∴y=

60-25x

12

，
∴s=xy=

60-25x

12

•x=-

25

12

x²-5x，
∵a＜0，
∴s有最大值，為

4ac-b2

4a

=-

0-25

25 3

=3，
故答案為：3．

點評：本題考查了平移的性質(zhì)、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意：可知

MN

掃過的面積為一個矩形，是一道很不錯的中考題．