Question

已知拋物線y=x²+px+q（q≠0）與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，顯然，△ABC的形狀由系數(shù)p、q決定，你能找出關(guān)于△ABC的形狀和p、q的關(guān)系嗎？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：當(dāng)p=0時，則y=x²+q，頂點(diǎn)C在y軸上，A、B關(guān)于y軸對稱，所以△ABC是等腰三角形，當(dāng)q²=-q時，由于x₁•x₂=q，所以q²=OA•OB，即OC²=OA•OB，得出△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，因?yàn)椤螩BO+∠BCO=90°，所以∠ACO+∠BCO=90°，∠ACB=90°，即可求得△ABC是直角三角形．

解答：解：當(dāng)p=0時，△ABC是等腰三角形，當(dāng)q²=-q時，△ABC是直角三角形；
理由：∵當(dāng)p=0時，則y=x²+q，
∴頂點(diǎn)C在y軸上，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
當(dāng)q²=-q時，
∵x₁•x₂=q，
∴q²=OA•OB，
即OC²=OA•OB，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的判定，直角三角形的判定．