Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、F分別在AB、AC上，CF=CB，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF．
（1）求證：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度數(shù)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CD=CE，再根據(jù)同角的余角相等可證明∠BCD=∠FCE，再根據(jù)全等三角形的判定方法即可證明△BCD≌△FCE；
（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，進(jìn)而可求出∠BDC的度數(shù)．

解答：（1）證明：∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，

CB=CF ∠BCD=∠FCE CD=CE

，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．

（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°-∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、同角的余角相等、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．