Question

（2011•德陽(yáng)）如圖，AB是⊙0的直徑，AC切⊙0于點(diǎn)A，AD是⊙0的弦，OC⊥AD于F交⊙0于E，連接DE，BE，BD．AE．
（1）求證：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=

3

4

，求AC的長(zhǎng)；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四邊形AEDB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線性質(zhì)、垂直的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)求得∠C+∠AOC=∠AOC+∠BAD=90°，即∠C=∠BAD；然后由圓周角定理推知∠BED=∠BAD；最后由等量代換證得∠C=∠BED；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求AC的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)已知條件推知AE=BD=DE，然后由圓的弧、弦、圓心角間的關(guān)系知

AE

=

BD

=

DE

，從而求得∠BAD=30°；然后由直徑AB所對(duì)的圓周角∠ADB=90°可以求得直角三角形ABD中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半BD=

1

2

AB=5，DE=5；最后（過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H）在直角三角形HDA中求得高線DH的長(zhǎng)度，從而求得梯形ABDE的面積．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CA切⊙O于A，
∴∠C+∠AOC=90°；
又∵0C⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD．
又∵∠BED=∠BAD，
∴∠C=∠BED．

（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=

3

4

，
∴tan∠C=

3

4

．
在Rt△OAC中，tan∠C=

OA

AC

，且OA=

1

2

AB=5，
∴

5

AC

=

3

4

，解得AC=

20

3

．

（3）解：∵OC⊥AD，∴

AE

=

ED

，∴AE=ED，
又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴

AE

=

BD

，
∴AE=BD，
∴AE=BD=DE，
∴

AE

=

BD

=

DE

，
∴∠BAD=30°，
又∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，
∴BD=

1

2

AB=5，DE=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=5

3

，
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，
∵∠HAD=30°，∴DH=

1

2

AD=

5 3

2

，
∴四邊形AEDB的面積=

1

2

(DE+AB)•DH=

1

2

×(5+10)×

5 3

2

=

75 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．解題時(shí)，注意知識(shí)的綜合利用．