Question

8．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=$\frac{7}{8}$，AD=6，則AC=8．

Answer 1

分析 作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分別為E、F，由△BFD∽△CED得$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{DF}{DE}$=3，因為AF=FD=3，可以求出DE=1，AE=7，再在RT△AEC利用cos∠EAC求出AC即可．

解答 解：作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分別為E、F．
∵∠BFE=∠CEA=90°，
∴BF∥CE，
∴△BFD∽△CED，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{DF}{DE}$=3，
∵BA=BD，BF⊥AD，
∴AF=DF=3，DE=1，
在RT△AEC中，∵∠AEC=90°，AE=7，cos∠EAC=$\frac{7}{8}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{7}{8}$，
∴AC=8．
故答案為8．

點評 本題考查相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是由三角形相似得出邊的比例關(guān)系，求出相應(yīng)的線段，記住等腰三角形的高是常用輔助線．