Question

問題背景在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量．下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：

甲組：如圖1，測(cè)得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm．
乙組：如圖2，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長為900cm．
丙組：如圖3，測(cè)得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm，影長為156cm．任務(wù)要求：
（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；
（2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點(diǎn)M．請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時(shí)可采用等式156²+208²=260²）

Answer 1

分析：此題屬于實(shí)際應(yīng)用問題，解題時(shí)首先要理解題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答；此題需要轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題解答，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．

解答：解：（1）由題意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．
∴△ABC∽△DEF．
∴

AB

DE

=

AC

DF

，即

80

DE

=

60

900

，（2分）
∴DE=1200（cm）．
所以，學(xué)校旗桿的高度是12m．（3分）

（2）解法一：
與①類似得：

AB

GN

=

AC

GH

，即

80

GN

=

60

156

，
∴GN=208．（4分）
在Rt△NGH中，根據(jù)勾股定理得：NH²=156²+208²=260²，
∴NH=260．（5分）
設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，
∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）
則∠OMN=∠HGN=90°，
又∵∠ONM=∠HNG，
∴△OMN∽△HGN，
∴

OM

HG

=

ON

HN

（7分），
又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8，
∴

r

156

=

r+8

260

，
解得：r=12．
∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）

解法二：
與①類似得：

AB

GN

=

AC

GH

，
即

80

GN

=

60

156

，
∴GN=208．（4分）
設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，
∵NH切⊙O于M，
∴OM⊥NH．（5分）
則∠OMN=∠HGN=90°，
又∵∠ONM=∠HNG，
∴△OMN∽△HGN．
∴

OM

HG

=

MN

GN

，
即

r

156

=

MN

208

，（6分）
∴MN=

4

3

r，
又∵ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8．（7分）
在Rt△OMN中，根據(jù)勾股定理得：
r²+（

4

3

r）²=（r+8）²即r²-9r-36=0，
解得：r₁=12，r₂=-3（不合題意，舍去），
∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求解即可，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．此題的文字?jǐn)⑹霰容^多，解題時(shí)要認(rèn)真分析題意．