Question

如圖，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接QE并延長交射線BC于點F．
（1）如圖，當(dāng)BP=BA時，∠EBF=

 

°，猜想∠QFC=

 

°；
（2）如圖，當(dāng)點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）∠EBF與∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度數(shù)；利用觀察法，或量角器測量的方法即可求得∠QFC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，證明∠BAP=∠EAQ，進(jìn)而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF．

解答： 解：（1）∠EBF=30°；（1分）
∠QFC=60°；（2分）

（2）∠QFC=60°．                      （1分）
解法1：不妨設(shè)BP＞

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AB，如圖1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．                        （2分）
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）                （3分）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．                             （4分）
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．             （5分）
（事實上當(dāng)BP≤

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AB時，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）
解法2：設(shè)AP交QF于M∠QMP為△AMQ和△FMP共同的外角
∴∠QMP=∠Q+∠PAQ=∠APB+∠QFC，
由△ABP≌△AEQ得∠Q=∠APB，由旋轉(zhuǎn)知∠PAQ=60°，
∴∠QFC=∠PAQ=60°．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，與三角形的全等相結(jié)合，是一個比較難的題目．