Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線y=2x+4上，點(diǎn)B在第二象限，C，D兩點(diǎn)均在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，拋物線y=-（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在直線y=2x+4上運(yùn)動(dòng)，且這條拋物線交y軸于點(diǎn)E．
（1）寫出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)拋物線y=-（x-m）²+n經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在AC所在直線上時(shí)，求m的值；
（4）當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，連接CE，DE，當(dāng)△CDE的面積隨m的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正方形的邊長為1可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)A的縱坐標(biāo)代入代入y=2x+4可求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由拋物線y=-（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在直線y=2x+4上運(yùn)動(dòng)，可得到n=2m+4．再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得m、n的值，從而可求得拋物線的解析式；
（3）由n與m的關(guān)系可將拋物線的解析式轉(zhuǎn)為y=-（x-m）²+2m+4．然后將點(diǎn)E的坐標(biāo)（用含m的式子表示），接下來，在求得AC的解析式，最后將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入AC的解析式可求得m的值；
（4）由S_△CDE=$\frac{1}{2}$DC•EO可得到△CDE的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)二次函數(shù)的增減性和點(diǎn)E在x的上方可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵正方形的邊長為1，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1．
∵將y=1代入y=2x+4得：2x+4=1，解得；x=-$\frac{3}{2}$，
∴A（-$\frac{3}{2}$，1）．
∴D（-$\frac{3}{2}$，0）
∵CD=1，
∴C（$-\frac{5}{2}$，0）
（2）∵拋物線y=-（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在直線y=2x+4上運(yùn)動(dòng)，
∴n=2m+4．
∴拋物線的解析式為y=-（x-m）²+2m+4．
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（-$\frac{5}{2}$，0），
∴（-$\frac{5}{2}$-m）²+2m+4=0．
解得：m₁=m₂=-$\frac{3}{2}$．
∴n=2×（-$\frac{3}{2}$）+4=1．
∴拋物線的解析式為y=-（x+$\frac{3}{2}$）²+1（y=-x²-3x-$\frac{5}{4}$）．
（3）∵拋物線y=-（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在直線y=2x+4上運(yùn)動(dòng)，
∴n=2m+4．
∴拋物線的解析式為y=-（x-m）²+2m+4．
∵將x=0代入得：y=-m²+2m+4．
∴E（0，-m²+2m+4）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．
∵將A（-$\frac{3}{2}$，1、C（$-\frac{5}{2}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=1}\\{-\frac{5}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，解得k=1，b=$\frac{5}{2}$，
∴直線AC的解析式為y=x+$\frac{5}{2}$．
∵點(diǎn)E在直線AC上，
∴-m²+2m+4=$\frac{5}{2}$．
解得：m₁=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，m₂=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（4）S_△CDE=$\frac{1}{2}$DC•EO=-$\frac{1}{2}$m²+m+2，
∵m=-$\frac{2a}$=1，a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)m≤1時(shí)，y隨x的增大而增大．
令-$\frac{1}{2}$m²+m+2=0，解得：m₁=1-$\sqrt{5}$，m₂=1+$\sqrt{5}$（舍去）．
∵點(diǎn)E在x軸的上方，
∴m＞1-$\sqrt{5}$．
∴m的范圍是1-$\sqrt{5}$＜m≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，依據(jù)二次函數(shù)的增減性確定出m的取值范圍是解題的關(guān)鍵．