Question

2．已知如圖：二次函數(shù)y=x²-2x-3，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積．
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若在拋物線和x軸所圍成的封閉圖形內(nèi)畫出一個(gè)最大的正方形，使得正方形的一邊在x軸上，其對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上，試求出這個(gè)最大正方形的邊長(zhǎng)．
（4）翻折x軸下方的圖象，在形成的新圖象中，當(dāng)直線y=x+b與新圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則b的值為1或$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 （1）令x=0可求得y=-3，故此點(diǎn)C（0，-3），令y=0可求得x₁=3，x₂=-1，從而可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式可求得△ABC的面積；
（2）連接CB交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)P，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知PA=PB，故此PA+PC=PB+PC，當(dāng)點(diǎn)B、P、C在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)PA+PC=BC有最小值，利用待定系數(shù)法求得BC的解析式為y=x-3，將x=1代入可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)D′的橫坐標(biāo)坐標(biāo)為2-x，從而可求得C′D′=2-2x，由正方形的性質(zhì)可知2-2x=-（x²-2x-3），x₁=2-$\sqrt{5}$，x₂=2+$\sqrt{5}$（舍去），故此C′D′=$\sqrt{5}$，正方形的面積為5；
（4）如圖4所示，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，與新函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，如圖5所示直線與先函數(shù)圖形有三個(gè)交點(diǎn)，從而可求得點(diǎn)b的值．

解答 解：如圖1所示：

∵令x=0，得y=-3，
∴OC=3．
∵令y=0得：x²-2x-3=0，解得：x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0）、B（3，0）．
∴AB=4．
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}AB•OC$=$\frac{1}{2}×4×3$=6．
（2）如圖2所示：連接BC，交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)P，連接AP．

∵x=-$\frac{2a}$，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=1對(duì)稱，
∴PA=PB．
∴PA+PC=PB+PC．
當(dāng)點(diǎn)C、P、B在一條直線上時(shí)，PA+PC有最小值．
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$
解得：k=1，b=-3．
∴直線BC的解析式為y=x-3．
將x=1代入得：y=1-3=-2．
∴P（1，-2）．
（3）如圖所示：

設(shè)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3）．
∵點(diǎn)C′與D′關(guān)于x=1對(duì)稱，
∴點(diǎn)D′的橫坐標(biāo)為2-x．
∴C′D′=2-2x．
∵四邊形A′B′D′C′是正方形，
∴A′C′=C′D′．
∴2-2x=-（x²-2x-3）．
解得：x₁=2-$\sqrt{5}$，x₂=2+$\sqrt{5}$（舍去），
∴C′D′=$\sqrt{5}$．
∴正方形的面積為5．
（4）如圖4所示，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)．

將A（-1，0）代入直線的解析式得：-1+b=0，解得：b=1．
如圖5所示：

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C′的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)C′的坐標(biāo)代入得：-3a=3，解得a=-1．
∵a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
將y=-x²+2x+3與y=x+b聯(lián)立得：-x²+2x+3=x+b．
∵直線y=x+b與拋物線y=-x²+2x+3有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程x²-x+b-3=0判別式為0．
∴1²-4×1×（b-3）=0．
解得：b=$\frac{13}{4}$．
綜上所述，當(dāng)b=1或b=$\frac{13}{4}$時(shí)，直線y=x+b與先函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：1或$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)包括二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱路徑最短問(wèn)題，依據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)C、P、B在一條直線上時(shí)，PA+PC有最小值是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵；依據(jù)正方形的四條邊相等列出關(guān)于x的方程是解答本題（3）的關(guān)鍵；依據(jù)一元二次方程根與的判別式求得b的值是解決問(wèn)題（4）的關(guān)鍵．