Question

（2009•寧德）如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；
（2）連接FC，觀察并猜測(cè)∠FCN的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數(shù)），E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上．判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小是否總保持不變？若∠FCN的大小不變，請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發(fā)生改變，請(qǐng)舉例說(shuō)明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可．
（2）作FH⊥MN于H．先證△ABE≌△EHF，得到對(duì)應(yīng)邊相等，從而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度數(shù)就可以求得了．
（3）本題也是通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求度數(shù)，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△BAE≌△DAG．

（2）解：∠FCN=45°，
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△ABE，
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCN=45°．

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小總保持不變，
理由是：作FH⊥MN于H，
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
結(jié)合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，
∴==；
在Rt△FEH中，tan∠FCN===，
∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，其重點(diǎn)是通過(guò)證三角形全等或相似來(lái)得出線段的相等或成比例．