Question

【題目】如圖，已知在中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．連結(jié)．

（1）當(dāng)秒時(shí)，求的長度(結(jié)果保留根號(hào))；

（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；

（3）過點(diǎn)做于點(diǎn)．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為何值時(shí)，能使？

Answer 1

【答案】（1）2；（2）4或16或5；（3）5或11．

【解析】

（1）根據(jù)題意得BP=2t，從而求出PC的長，然后利用勾股定理即可求出AP的長；

（2）先利用勾股定理求出AB的長，然后根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別列出方程即可求出t的值；

（3）根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)勾股定理求出AE，分別利用角平分線的性質(zhì)和判定求出AP，利用勾股定理列出方程，即可求出t的值．

（1）根據(jù)題意，得BP=2t，

∴PC=16－2t=16－2×3=10，

∵AC=8，

在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理，得AP===2．

答：AP的長為2．

（2）在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，

根據(jù)勾股定理，得AB===8

若BA=BP，

則 2t=8，

解得：t=4；

若AB=AP，

∴此時(shí)AC垂直平分BP

則BP=32，

2t=32，

解得：t=16；

若PA=PB=2t，CP=16－2t

∵PA2= CP2＋AC2

則(2t)2=(16－2t)2＋82，

解得：t=5．

答：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的值為4、16、5．

（3）若P在C點(diǎn)的左側(cè)，連接PD

CP=16－2t

∵DE=DC=3，AC=8，，DC⊥PC

∴PD平分∠EPC，AD=AC－DC=5

根據(jù)勾股定理可得AE=，

∴∠EPD=∠CPD

∴∠EDP=90°－∠EPD=90°－∠CPD=∠CDP

∴DP平分∠EDC

∴PE=CP=162t

∴AP=AE＋EP=20－2t

∵PA2= CP2＋AC2

則(20－2t)2=(16－2t)2＋82，

解得：t=5；

若P在C點(diǎn)的右側(cè)，連接PD

CP=2t－16

∵DE=DC=3，AC=8，，DC⊥PC

∴PD平分∠EPC，AD=AC－DC=5

根據(jù)勾股定理可得AE=

∴∠EPD=∠CPD

∴∠EDP=90°－∠EPD=90°－∠CPD=∠CDP

∴DP平分∠EDC

∴PE=CP=2t－16

∴AP=AE＋EP=2t－12

∵PA2= CP2＋AC2

則(2t－12)2=(2t－16)2＋82，

解得：t=11；

答：當(dāng)t為5或11時(shí)，能使DE=CD．