Question

請(qǐng)閱讀下面知識(shí)：
梯形中位線的定義：梯形兩腰中點(diǎn)的連線，叫做梯形的中位線．如圖，E，F(xiàn)是梯形ABCD兩腰AB，CD的中點(diǎn)，則EF是梯形的中位線梯形中位線與兩底長(zhǎng)度的關(guān)系：梯形中位線長(zhǎng)度等于兩底長(zhǎng)的和的一半如圖：EF=

1

2

（AD+BC）利用上面的知識(shí)，完成下面題目的解答已知：直線l與拋物線M交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，拋物線M的對(duì)稱軸為y軸，過(guò)點(diǎn)A，B作x軸的垂線段，垂足分別為D，C，已知A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）
（1）求梯形ABCD中位線的長(zhǎng)度；
（2）求拋物線M的解析式；
（3）把拋物線M向下平移k個(gè)單位，得拋物線M₁（拋物線M₁的頂點(diǎn)保持在x軸的上方），與直線l的交點(diǎn)為A₁，B₁，同樣作x軸的垂線段，垂足為D₁，C₁，問(wèn)此時(shí)梯形A₁B₁C₁D₁的中位線的長(zhǎng)度（設(shè)為h）與原來(lái)相比是否發(fā)生變化？若不變，說(shuō)明理由．若有改變，求出h與k的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出AD、BC的長(zhǎng)度，再由中位線定理求出梯形ABCD中位線的長(zhǎng)度即可；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+b（a≠0），把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出ab的值，進(jìn)而得出拋物線的解析式；
（3）把直線AB的解析式同拋物線的解析式聯(lián)立即可出x₁、x₂的表達(dá)式，再代入直線AB的解析式即可得出A₁、B₁的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出A₁D₁及B₁C₁的長(zhǎng)度，由中位線定理即可求出梯形A₁B₁C₁D₁的中位線的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）
∴AD=3，BC=

3

2

，
∴梯形ABCD中位線=

1

2

（AD+BC）=

1

2

×（3+

3

2

）=

9

4

；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+b（a≠0），
∵點(diǎn)A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）在拋物線上，
∴

a+b=3 1 4 a+b= 3 2

，解得

a=2 b=1

，
∴拋物線的解析式為：y=2x²+1；

（3）∵拋物線M向下平移k個(gè)單位得拋物線M₁，
∴拋物線M₁的解析式為y=2x²+1-k，
∴

y=-x+2 y=2x2+1-k

，
解得x₁=

-1- 8k+9

4

，x₂=

-1+ 8k+9

4

（其中x₁＜x₂）
代入y=-x+2得，y₁=-

-1- 8k+9

4

+2，y₂=-

-1+ 8k+9

4

+2，
∴y₁+y₂=（-

-1- 8k+9

4

）+（-

-1+ 8k+9

4

）=

9

2

，
∴梯形A₁B₁C₁D₁的中位線長(zhǎng)為

9

4

，保持不變．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、梯形的中位線定理等相關(guān)知識(shí)，難度適中．