Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝30°，DE交線段AC于點(diǎn)E.

（1）D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖1位置時(shí)，∠BDA＝75°，則∠EDC＝______，∠DEC＝________；

（2）D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖2位置時(shí)，當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說明理由；

（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀也在變化，判斷當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，∠BDA等于多少度（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）.

Answer 1

【答案】（1）75°，75°；（2）DC=3，理由見解析；（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，∠BDA度數(shù)為105°或60°.

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和與三角形外角等于與其不相鄰兩內(nèi)角的和的關(guān)系進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及判定定理綜合運(yùn)用求解即可；

（3）根據(jù)△ADE是等腰三角形，分①當(dāng)AD=AE，②DA=DE，③EA=ED三種情況進(jìn)行討論即可.

（1）∵∠BDA=75°，

∴∠ADC=105°，

又∵∠ADE=30°，

∴∠EDC=75°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=30°，

∴∠DEC=75°，

所以答案為75°，75°；

（2）當(dāng)DC=3時(shí)，△ABD≌△DCE，

∵AB=AC=3，∠B=30°，

∴∠C=30°，

∵CD=CA=3，

∴∠CAD=∠CDA=75°，

∴∠ADB=105°，∠EDC=45°，

∴∠DEC=105°，

∴∠ADB=∠DEC,

在△ABD與△DCE中，

∵∠ADB=∠DEC，AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABD≌△DCE；

（3）①當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=30°，

∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=120°，

∵∠BAC=120°，D不與B、C重合，

∴AD≠AE；

②當(dāng)DA=DE時(shí)，∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠DEA=75°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；

③當(dāng)EA=ED時(shí)，∠ADE=30°，

∴∠EAD=∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，

∴∠BDA=∠DEC=60°.

綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，∠BDA度數(shù)為105°或60°.