Question

11．如圖所示，每個(gè)圓周上的數(shù)是按下述規(guī)則逐次標(biāo)出的：第一次先在圓周上標(biāo)出$\frac{1}{9}$，$\frac{2}{9}$兩個(gè)數(shù)（如圖甲），第二次又在第一次標(biāo)出的兩個(gè)數(shù)之間的圓周上，分別標(biāo)出這兩個(gè)數(shù)的和（如圖乙），第三次再在第二次標(biāo)出的所有相鄰數(shù)之間的圓周上，分別標(biāo)出這相鄰兩數(shù)的和（如圖丙）；按照此規(guī)則，依此類推，一直標(biāo)下去．
（1）設(shè)n是大于1的自然數(shù)，第n-1次標(biāo)完數(shù)字后，圓周上所有數(shù)字的和記為S_n-1；第n次標(biāo)完數(shù)字后，圓周上所有數(shù)字的和記為S_n，猜想并寫出S_n與S_n-1的等量關(guān)系；
（2）請(qǐng)你求出S₁₀₂的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，S=$\frac{3}{9}$，當(dāng)n=2時(shí)，S=$\frac{9}{9}$，當(dāng)n=3時(shí)，S=$\frac{27}{9}$，由此可知每次標(biāo)完數(shù)字后的和是前一次標(biāo)完數(shù)字后的和的3倍，即可推出S_n與S_n-1的關(guān)系；
（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論可知，第n次標(biāo)完后，S_n=3^n-2，所以S₁₀₂的值為3¹⁰⁰．

解答 解：（1）∵當(dāng)n=1時(shí)，S₁=$\frac{3}{9}$，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=$\frac{9}{9}$，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=$\frac{27}{9}$，
∴3S₁=S₂，3S₂=S₃，S_n=3^n-2，
∴S_n=3S_n-1，
（2）∵S_n=3^n-2，
∴S₁₀₂=3¹⁰⁰．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，關(guān)鍵在于通過計(jì)算每次標(biāo)注完數(shù)字后的和，得出一般的計(jì)算方法解決問題．