【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC、BD是它的對角線,∠ABC=∠ADC=90°,∠BCD是銳角.
(1)寫出這個四邊形的一條性質(zhì)并證明你的結(jié)論.
(2)若BD=BC,證明: .
(3)①若AB=BC=4,AD+DC=6,求 的值.
②若BD=CD,AB=6,BC=8,求sin∠BCD的值.
【答案】
(1)
解:結(jié)論:AB2+BC2=AD2+DC2.
理由:∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴AB2+BC2=AC2,BC2+DC2=AC2,
∴AB2+BC2=AD2+DC2
(2)
解:如圖1中,過點B作AD的垂線BE交DA的延長線于點E,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴四邊形ABCD四點共圓,
∴∠BDE=∠ACB,∠EAB=∠BCD,
∵∠BED=∠ABC=90°,
∴△BED∽△ABC,
∴ = =sin∠EAB=sin∠BCD
(3)
解:①如圖2中,過點B作BF⊥BD交DC的延長線于F.
∵∠ABC=∠DBF=90°,∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°,∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF,
∵∠BCF=∠BAD,BC=BA,
∴△DAB≌△CBF,
∴BD=BF,AD=CF,
∵∠DBF=90°,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴BD= DF,
∵AD+CD=6,
∴CF+CD=DF=6,
∴BD=3 ,AC= =4 ,
∴ = = .
②當BD=CD時,如圖3中,過點B作MN∥DC,過點C作CN⊥MN,垂足為NM延長BA交MN于點N,則四邊形DCNM是矩形,△ABM∽△BCN,
∴ ,設(shè)AM=6y,BN=8y,BM=6x,CN=8x,
在Rt△BDM中,BD= =10x,
∵BD=DC,
∴10x=6x+8y,
∴x=2y,
在Rt△DABM中,AB= =6 y,
∴sin∠BCD=sin∠MAB= = =
【解析】(1)結(jié)論:AB2+BC2=AD2+DC2 , 根據(jù)勾股定理即可證明.(2)如圖1中,過點B作AD的垂線BE交DA的延長線于點E,只要證明△BED∽△ABC,即可解決問題.(3)①如圖2中,過點B作BF⊥BD交DC的延長線于F.只要證明△DAB≌△CBF,推出DF=AD+CD=6,求出BD、AC即可.
②當BD=CD時,如圖3中,過點B作MN∥DC,過點C作CN⊥MN,垂足為NM延長BA交MN于點N,則四邊形DCNM是矩形,△ABM∽△BCN,所以 ,設(shè)AM=6y,BN=8y,BM=6x,CN=8x,通過BD=DC,列出方程求出x、y的關(guān)系,求出AB,即可解決問題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥AC,∠1與∠2互補,判斷HF與AB是否垂直,并說明理由(填空)
解:垂直.理由如下:
∵DE⊥AC,AC⊥BC,
∴∠AED=∠ACB=90°( 垂直的意義 ).
∴DE∥BC( ① )
∴∠1=∠DCB( ② )
∵∠1與∠2互補(已知).
∴∠DCB與∠2互補
∴ ③ (同旁內(nèi)角互補,兩直線平行)
∴∠BFH=∠CDB( ④ )
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.
∴∠BFH= ⑤ ( ⑥ ).
∴HF⊥AB.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E,F為BC中點,BE與DF,DC分別交于點G,H,連接CG,∠ABE=∠CBE.
(1)求證:BH=AC;
(2)若BG=5,GE=4,求線段AE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過對角線BD中點的直線交AD、BC邊于F、E.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當四邊形BEDF是菱形時,寫出EF與BD的關(guān)系.
(3)若∠A=60°,AB=4,BC=6,四邊形BEDF是矩形,求該矩形的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小李到某城市行政中心大樓辦事,假定乘電梯向上一樓記為+1,向下一樓記為–1.
小李從1樓出發(fā),電梯上下樓層依次記錄如下(單位:層): +5,–3,+10,–8,+12,–6,–10.
(1)請你通過計算說明小李最后是否回到出發(fā)點1樓;
(2)該中心大樓每層高2.8m,電梯每上或下1m需要耗電0.1度.根據(jù)小李現(xiàn)在所處的位置,請你算一算,當他辦事時電梯需要耗電多少度?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AC為對角線,E為AB上一點,過點E作EF∥AD,與AC,DC分別交于點G,F(xiàn),H為CG的中點,連接DE,EH,DH,F(xiàn)H.下列結(jié)論中結(jié)論正確的有( )
①EG=DF;
②∠AEH+∠ADH=180°;
③△EHF≌△DHC;
④若,則S△EDH=13S△CFH .
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點C作CE∥BD,過點D作DE∥AC,CE與DE相交于點E.
(1)求證:四邊形CODE是矩形;
(2)若AB=5,AC=6,求四邊形CODE的周長.
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