Question

（1）如圖，點D、E分別是正△ABC邊AC、CB延長線上的點，且CD=BE，連接DB并延長交AE于F，求∠AFB的度數(shù)；
（2）若將（1）中的正△ABC變成正四邊形ABCM，如圖2，E、D分別是以C為頂點的CB和MC延長線上的點，且CD=BE，連接DB并延長交AE于F，求∠AFB的度數(shù)；
（3）若將（2）中的正四邊形ABCM變成正五邊形ABCMN，如圖3，其他條件不變求∠AFB的度數(shù)為

 

（4）若將（2）中的正四邊形ABCM變成正n邊形ABCM…N，如圖4，其他條件不變，根據(jù)（1）、（2）、（3）中所展現(xiàn)的規(guī)律用含字母n的代數(shù)式表達(dá)∠AFB的度數(shù)為

 

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，求出∠ABE=∠BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出△ABE≌△BCD，推出∠E=∠D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=BC，∠BCM=∠ABC960°，求出∠ABE=∠BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出△ABE≌△BCD，推出∠E=∠D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
（3）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出AB=BC，∠BCM=∠ABC=108°，求出∠ABE=∠BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出△ABE≌△BCD，推出∠E=∠D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
（4）根據(jù)正n邊形的性質(zhì)求出AB=BC，∠BCM=∠ABC=

(n-2)×180°

n

，求出∠ABE=∠BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出△ABE≌△BCD，推出∠E=∠D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）∵三角形ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-60°=120°，
在△ABE和△BCD中，

AB=BC ∠ABE=∠BCD BE=CD

，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）∵四邊形ABCM是正四邊形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=90°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-90°=90°，
在△ABE和△BCD中，

AB=BC ∠ABE=∠BCD BE=CD

，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=90°；

（3）∵四邊形ABCMN是正五邊形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=

(5-2)×180°

5

=108°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-108°=72°，
在△ABE和△BCD中，

AB=BC ∠ABE=∠BCD BE=CD

，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=108°，
故答案為：108°；

（4）∵四邊形ABCM…N是正n邊形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=

(n-2)×180°

n

，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，

AB=BC ∠ABE=∠BCD BE=CD

，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=

(n-2)×180°

n

，
故答案為：

(n-2)×180°

n

．

點評：本題考查了正多邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，題目是一道具有代表性的題目，證明過程類似．