Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點任作兩條垂直的射線與兩腰相交于E，F(xiàn)兩點，連接EF與AD相交于G，若∠AED=110°，則∠AGF=________．

Answer 1

110°
分析：根據(jù)等腰直角三角形得出AD平分∠BAC，AD=BD=DC，AD⊥BC，推出∠BAD=∠DAC=∠B=∠45°，∠ADC=90°，求出∠ADF=∠BDE，根據(jù)ASA證△BDE≌△ADF，推出DE=DF，根據(jù)等腰直角三角形得出∠DEF=45°=∠EFD，根據(jù)三角形的外角性質求出即可．
解答：∵△BAC是等腰直角三角形（∠BAC=90°），D為BC中點，
∴AD平分∠BAC，AD=BD=DC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠45°，∠ADC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDF=90°，∠CDF+∠BDE=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴∠DEF=45°=∠EFD，
∵∠AED=110°，∠EAD=∠FED=45°，
∴∠AGF=∠AEG+∠EAG=（110°-45°）+45°=110°，
故答案為：110°．
點評：本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的性質和判定，主要培養(yǎng)學生運用定理進行推理的能力，題目比較好，但有一定的難度．