Question

11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2$\sqrt{2}$，E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，連接BE、BF、EF．若四邊形ABCD的面積為6，則△BEF的面積為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 連接AC，過B作EF的垂線，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面積，可得BG和△ADC的面積，三角形ABC與三角形ACD同底，利用面積比可得它們高的比，而GH又是△ACD以AC為底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位線的性質(zhì)可得EF的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可得結(jié)果．

解答 解：連接AC，過B作EF的垂線交AC于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+（2\sqrt{2}）}^{2}}$=4，
∵△ABC為等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG為等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
∴S_△ADC=2，
∵$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ACD}}$=2，
∵△DEF∽△DAC，
∴GH=$\frac{1}{4}$BG=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\frac{5}{2}$，
又∵EF=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$•EF•BH=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
故選C．
方法二：S_△BEF=S_{四邊形ABCD}-S_△ABE-S_△BCF-S_△FED，
易知S_△ABE+S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=3，S_△EDF=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BEF=S_{四邊形ABCD}-S_△ABE-S_△BCF-S_△FED=6-3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了三角形面積的運(yùn)算，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線得到三角形的底和高是解答此題的關(guān)鍵．